Beschreibende Statistik
- Mittelwert
- x̄ = Σx/n
- Stichproben-Standardabweichung
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- mittlerer Wert der sortierten Daten
- z-Wert
- z = (x − μ)/σ
- Normalverteilung
- 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Einführung in die Statistik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wahrscheinlichkeit
- Gegenereignis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Additionssatz
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Unabhängige Ereignisse
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Bedingte Wahrscheinlichkeit
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomialverteilung
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalverteilung
- z-Wert
- z = (x − μ)/σ
- Unterhalb von x
- P(X < x) = Φ(z)
- Oberhalb von x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Dazwischen
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Perzentil
- x = μ + z·σ
Methode
- Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
- Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
- Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
- Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.
Konfidenzintervalle
- σ bekannt
- x̄ ± z·σ/√n
- σ unbekannt
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritischer z-Wert
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Stichprobenumfang
- n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
- Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
- Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
- Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
- Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
- z-Test für einen Mittelwert
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-Test für einen Mittelwert
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Zweiseitig bei 5%
- H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
- Konfidenzintervall
- x̄ ± z·σ/√n
Methode
- Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
- Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
- Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
- Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
Lineare Regression und Korrelation
- Quadratsummen
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Steigung
- b = Sxy/Sxx
- Achsenabschnitt
- a = ȳ − b·x̄
- Korrelation
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuum
- e = y − ŷ
2Übungsaufgaben
1.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 49, 25, 50, 31, 44.
n = 5
s =
2.Beschreibende StatistikSchwer
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 40. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 440.
μ = 500σ = 40x = 440
z =
3.WahrscheinlichkeitMittel
Ein fairer Würfel wird 8-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, mindestens eine Sechs zu würfeln?
n = 8
P =
4.WahrscheinlichkeitSchwer
Ein Test hat 9 Multiple-Choice-Fragen. Eine Studentin, die rät, beantwortet jede unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,2 richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P für genau 5 richtige Antworten?
n = 9p = 0,2k = 5
P =
5.NormalverteilungMittel
Die IQ-Werte sind normalverteilt mit dem Mittelwert 100 Punkte und der Standardabweichung 15 Punkte. Welcher Anteil liegt zwischen 76,75 und 130,75 Punkte? Gib P als Dezimalzahl an.
μ = 100σ = 15x1 = 76,75x2 = 130,75
P =
6.NormalverteilungSchwer
Die Lebensdauern von Batterien sind normalverteilt mit dem Mittelwert 500 h und der Standardabweichung 40 h. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten oberen 85 % rechts davon liegen. Bestimme die Grenze x.
μ = 500 hσ = 40 h85%
x = h
7.KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 25 Elementen hat den Mittelwert 117,5 und die Standardabweichung s = 3. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die obere Grenze des 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
n = 25x̄ = 117,5s = 395%t(24) = 2,064
obere Grenze =
8.KonfidenzintervalleSchwer
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 36. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 99-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 2 hat?
σ = 36E = 299%
n =
9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
12 Mitarbeitende machen vor und nach einem Schulungskurs einen Schreibtest. Für jede Person wird die Differenz d = nachher − vorher (Wörter pro Minute) erfasst. Die mittlere Differenz beträgt 5,45 und die Standardabweichung der Differenzen 5,9. Bestimme die Teststatistik t des verbundenen Tests für H₀: μd = 0.
n = 12d̄ = 5,45sd = 5,9
t =
10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Eine Stichprobe von 36 Messungen hat den Mittelwert 119,2. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 12. Bestimme die obere Grenze U des 99-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
x̄ = 119,2σ = 12n = 3699%
U =
11.Lineare Regression und KorrelationMittel
Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Bestimme das Bestimmtheitsmaß r² der Regressionsgeraden.
n = 5
r² =
12.Lineare Regression und KorrelationSchwer
Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Eine neue Beobachtung (4, 45) wird gemacht. Bestimme ihr Residuum e = y − ŷ.
n = 6(4, 45)
e =
3Lösungen
1.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 11,21
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Mittelwert
x̄ = 199/5 = 39,8
Quadrierte Abweichungen
Σ(x − x̄)² = 9,2² + (−14,8)² + 10,2² + (−8,8)² + 4,2² = 502,8
Standardabweichung
s = √(502,8/4) = 11,21
Antwort
s = 11,21
2.Beschreibende Statistik
Antwort: z = −1,5
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = (440 − 500)/40 = −1,5
Antwort
z = −1,5
3.Wahrscheinlichkeit
Antwort: P = 0,7674
Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Gegenereignis
P(keine Sechs) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Antwort
P = 0,7674
4.Wahrscheinlichkeit
Antwort: P = 0,01652
Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binomialformel
P(X = 5) = 126·0,25·0,84 = 126·0,00032·0,4096 = 0,01652
Antwort
P = 0,01652
5.Normalverteilung
Antwort: P = 0,9192
Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.
z-Werte
z₁ = (76,75 − 100)/15 = −1,55
z₂ = (130,75 − 100)/15 = 2,05
Fläche dazwischen
P = Φ(2,05) − Φ(−1,55) = 0,9798 − 0,06057 = 0,9192
Antwort
P = 0,9192
6.Normalverteilung
Antwort: x = 458 h
Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.
Fläche links
Φ(z) = 0,15
z aus der Tabelle
z ≈ −1,04
Zurück zu den ursprünglichen Einheiten
x = 500 − 1,04·40 = 458 h
Antwort
x = 458 h
7.Konfidenzintervalle
Antwort: obere Grenze = 118,7
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Kritischer Wert
df = n − 1 = 24, t = 2,064
Fehlermarge
E = 2,064·3/√25 = 1,238
Intervall
117,5 ± 1,238 → [116,3, 118,7]
Antwort
obere Grenze = 118,7
8.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 2150
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Nach n auflösen
n = (2,576·36/2)² = 2150
Aufrunden
Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.
n = 2150
Antwort
n = 2150
9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = 3,2
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standardfehler der mittleren Differenz
SE = 5,9/√12 = 1,703
Teststatistik
t = 5,45/1,703 = 3,2
Antwort
t = 3,2
Bei df = 11 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,201; |t| ist größer, also wird H₀ verworfen.
10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: U = 124,4
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Fehlermarge
E = 2,576·12/√36 = 5,152
Intervallgrenze
U = 119,2 + 5,152 = 124,4
Antwort
U = 124,4
11.Lineare Regression und Korrelation
Antwort: r² = 0,9948
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Mittelwerte
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 398/5 = 79,6
Quadrat- und Produktsummen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 318
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2541
Bestimmtheitsmaß
r² = 318²/(40·2541) = 0,9948
Antwort
r² = 0,9948
Etwa 99,48 % der Streuung von y werden durch die Gerade erklärt.
12.Lineare Regression und Korrelation
Antwort: e = −3,871
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Mittelwerte
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 327/6 = 54,5
Quadrat- und Produktsummen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 197
Regressionsgerade
b = 197/70 = 2,814
a = 54,5 − 2,814·6 = 37,61
ŷ = 37,61 + 2,814·x
Vorhergesagter Wert
ŷ = 37,61 + 2,814·4 = 48,87
Residuum
e = 45 − 48,87 = −3,871
Antwort
e = −3,871
Der Punkt liegt unter der Geraden.
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