Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 60, 18, 33, 34, 32.

n = 5

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 170 und Standardabweichung 8. Welcher Anteil P der Werte liegt unter 154?

μ = 170σ = 8x = 154

P =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Auf wie viele Arten N kann ein Ausschuss von 3 Personen aus einer Gruppe von 8 gewählt werden? Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

n = 8k = 3

N =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

11 Bauteile werden geprüft, und jedes fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,4 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass höchstens eines ausfällt?

n = 11p = 0,4

P =

5.NormalverteilungMittel

Ziehe z so, dass die schattierte Fläche unter der Standardnormalverteilung rechts von z gleich 0,0630 ist. Bestimme z auf zwei Nachkommastellen.

A = 0,0630

z =

6.NormalverteilungSchwer

Die Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit dem Mittelwert 65 Punkte und der Standardabweichung 10 Punkte. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten oberen 40 % rechts davon liegen. Bestimme die Grenze x.

μ = 65 Punkteσ = 10 Punkte40%

x = Punkte

7.KonfidenzintervalleMittel

Ein 90-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert, basierend auf 100 Beobachtungen und bekanntem σ, hat eine Fehlermarge von 11,6. Wie groß ist die Fehlermarge E₂, wenn dieselbe Studie stattdessen 25 Beobachtungen verwendet?

90%n₁ = 100E₁ = 11,6n₂ = 25

E₂ =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 11. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 4 hat?

σ = 11E = 495%

n =

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Zwei Fertigungslinien stellen dasselbe Teil her. Linie 1: Eine Stichprobe von 40 Teilen hat die mittlere Länge 48 mm, und die bekannte Standardabweichung der Linie ist 14 mm. Linie 2: Eine Stichprobe von 80 Teilen hat den Mittelwert 46,3 mm, bekannte Standardabweichung 8 mm. Bestimme die Teststatistik z für H₀: μ₁ = μ₂, mit der Differenz x̄₁ − x̄₂ (Linie 1 minus Linie 2).

n₁ = 40x̄₁ = 48 mmσ₁ = 14 mmn₂ = 80x̄₂ = 46,3 mmσ₂ = 8 mm

z =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

In einer Studie erholen sich 42 von 120 Patienten unter Behandlung A und 94 von 200 Patienten unter Behandlung B. Bestimme mit dem gepoolten Anteil die Teststatistik z für H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 42n₁ = 120x₂ = 94n₂ = 200

z =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Fahrzeugalter in Jahren und y = Preis in k€. Bestimme das Bestimmtheitsmaß r² der Regressionsgeraden.

n = 6

r² =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 89 voraus?

n = 5ŷ = 89

x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 15,22

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 177/5 = 35,4

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = 24,6² + (−17,4)² + (−2,4)² + (−1,4)² + (−3,4)² = 927,2

Standardabweichung

s = √(927,2/4) = 15,22

Antwort

s = 15,22

2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,02275

Standardisieren

z = −2

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Antwort

P = 0,02275

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: N = 56

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinationen

C(8, 3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56

Antwort

N = 56

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,03023

Null und ein Ausfall

P(X = 0) = 0,6¹¹ = 0,003628

P(X = 1) = 11·0,4·0,6¹⁰ = 0,02661

Addieren

P = 0,003628 + 0,02661 = 0,03023

Antwort

P = 0,03023

5.Normalverteilung

Antwort: z = 1,53

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links von z

Φ(z) = 1 − 0,0630 = 0,9370

Die z-Tabelle rückwärts lesen

Finde 0,9370 in der Tabelle und lies z ab.

z = 1,53

Antwort

z = 1,53

6.Normalverteilung

Antwort: x = 67,5 Punkte

Fläche links

Φ(z) = 0,6

z aus der Tabelle

z ≈ 0,25

Zurück zu den ursprünglichen Einheiten

x = 65 + 0,25·10 = 67,5 Punkte

Antwort

x = 67,5 Punkte

7.Konfidenzintervalle

Antwort: E₂ = 23,2

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhältnis der Fehlermargen

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(100/25) = 2

Neue Fehlermarge

E₂ = 11,6·2 = 23,2

Antwort

E₂ = 23,2

8.Konfidenzintervalle

Antwort: n = 30

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Nach n auflösen

n = (1,96·11/4)² = 29,05

Aufrunden

Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.

n = 30

Antwort

n = 30

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: z = 0,7121

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standardfehler der Differenz

SE = √(14²/40 + 8²/80) = √5,7 = 2,387

Teststatistik

z = (48 − 46,3)/2,387 = 0,7121

Antwort

z = 0,7121

|z| < 1.96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: z = −2,102

Stichprobenanteile

p̂₁ = 42/120 = 0,35

p̂₂ = 94/200 = 0,47

p̂ = 136/320 = 0,425

Standardfehler unter H₀

SE = √(0,425·0,575·(1/120 + 1/200)) = 0,05708

Teststatistik

z = (0,35 − 0,47)/0,05708 = −2,102

Antwort

z = −2,102

|z| > 1,96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r² = 0,8954

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 102/6 = 17

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 118

Bestimmtheitsmaß

r² = −43²/(17,5·118) = 0,8954

Antwort

r² = 0,8954

Etwa 89,54 % der Streuung von y werden durch die Gerade erklärt.

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 8,091

Mittelwerte

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 360/5 = 72

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220

Regressionsgerade

b = 220/40 = 5,5

a = 72 − 5,5·5 = 44,5

ŷ = 44,5 + 5,5·x

Nach x auflösen

x = (89 − 44,5)/5,5 = 8,091

Antwort

x = 8,091

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