Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 49, 42, 22, 34, 46, 43, 35.

n = 7

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 60. Welcher Anteil P der Werte liegt unter 560?

μ = 500σ = 60x = 560

P =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Auf wie viele Arten N kann ein Ausschuss von 2 Personen aus einer Gruppe von 7 gewählt werden? Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

n = 7k = 2

N =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

5 Bauteile werden geprüft, und jedes fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,25 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass höchstens eines ausfällt?

n = 5p = 0,25

P =

5.NormalverteilungMittel

Die IQ-Werte sind normalverteilt mit dem Mittelwert 100 Punkte und der Standardabweichung 15 Punkte. Welcher Anteil liegt zwischen 82 und 130,75 Punkte? Gib P als Dezimalzahl an.

μ = 100σ = 15x₁ = 82x₂ = 130,75

P =

6.NormalverteilungSchwer

Die Körpergrößen erwachsener Männer sind normalverteilt mit dem Mittelwert 178 cm und der Standardabweichung 7 cm. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten unteren 40 % links davon liegen. Bestimme die Grenze x.

μ = 178 cmσ = 7 cm40%

x = cm

7.KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 20 Elementen hat den Mittelwert 39,5 und die Standardabweichung s = 1. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die obere Grenze des 99-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

n = 20x̄ = 39,5s = 199%t(19) = 2,861

obere Grenze =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Eine Vorstudie legt nahe, dass etwa 0,3 der Produkte fehlerhaft sind. Wie viele Produkte n müssen geprüft werden, damit ein 99-%-Konfidenzintervall für den Anteil eine Fehlermarge von höchstens 0,04 hat?

p ≈ 0,3E = 0,0499%

n =

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 36 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 72,67 und eine Stichproben-Standardabweichung von 10. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72,67s = 10n = 36

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

In einer Studie erholen sich 28 von 80 Patienten unter Behandlung A und 141 von 300 Patienten unter Behandlung B. Bestimme mit dem gepoolten Anteil die Teststatistik z für H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 28n₁ = 80x₂ = 141n₂ = 300

z =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Bestimme das Bestimmtheitsmaß r² der Regressionsgeraden.

n = 5

r² =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 82 voraus?

n = 5ŷ = 82

x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 9,16

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 271/7 = 38,71

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = 10,29² + 3,286² + (−16,71)² + (−4,714)² + 7,286² + 4,286² + (−3,714)² = 503,4

Standardabweichung

s = √(503,4/6) = 9,16

Antwort

s = 9,16

2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,8413

Standardisieren

z = 1

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Antwort

P = 0,8413

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: N = 21

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinationen

C(7, 2) = (7·6)/(2·1) = 21

Antwort

N = 21

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,6328

Null und ein Ausfall

P(X = 0) = 0,75⁵ = 0,2373

P(X = 1) = 5·0,25·0,75⁴ = 0,3955

Addieren

P = 0,2373 + 0,3955 = 0,6328

Antwort

P = 0,6328

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,8647

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Werte

z₁ = (82 − 100)/15 = −1,2

z₂ = (130,75 − 100)/15 = 2,05

Fläche dazwischen

P = Φ(2,05) − Φ(−1,2) = 0,9798 − 0,1151 = 0,8647

Antwort

P = 0,8647

6.Normalverteilung

Antwort: x = 176,3 cm

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links

Φ(z) = 0,4

z aus der Tabelle

z ≈ −0,25

Zurück zu den ursprünglichen Einheiten

x = 178 − 0,25·7 = 176,3 cm

Antwort

x = 176,3 cm

7.Konfidenzintervalle

Antwort: obere Grenze = 40,14

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Kritischer Wert

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Fehlermarge

E = 2,861·1/√20 = 0,6397

Intervall

39,5 ± 0,6397 → [38,86, 40,14]

Antwort

obere Grenze = 40,14

8.Konfidenzintervalle

Antwort: n = 871

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Nach n auflösen

n = 2,576²·0,3·0,7/0,04² = 870,9

Aufrunden

n = 871

Antwort

n = 871

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = −1,398

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Standardfehler

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

Teststatistik

t = (72,67 − 75)/1,667 = −1,398

Antwort

t = −1,398

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: z = −1,919

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Stichprobenanteile

p̂₁ = 28/80 = 0,35

p̂₂ = 141/300 = 0,47

p̂ = 169/380 = 0,4447

Standardfehler unter H₀

SE = √(0,4447·0,5553·(1/80 + 1/300)) = 0,06253

Teststatistik

z = (0,35 − 0,47)/0,06253 = −1,919

Antwort

z = −1,919

|z| < 1.96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r² = 0,8984

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 262/5 = 52,4

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 234

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 677,2

Bestimmtheitsmaß

r² = 234²/(90·677,2) = 0,8984

Antwort

r² = 0,8984

Etwa 89,84 % der Streuung von y werden durch die Gerade erklärt.

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 8,947

Mittelwerte

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 340/5 = 68

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190

Regressionsgerade

b = 190/40 = 4,75

a = 68 − 4,75·6 = 39,5

ŷ = 39,5 + 4,75·x

Nach x auflösen

x = (82 − 39,5)/4,75 = 8,947

Antwort

x = 8,947

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