Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 22, 59, 43, 38, 15, 18.

n = 6

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 8. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 86.

μ = 70σ = 8x = 86

z =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Ein Beutel enthält 8 rote und 4 blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln, ohne die erste zurückzulegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass beide rot sind?

8 / 4

P =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

12 Bauteile werden geprüft, und jedes fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,4 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass höchstens eines ausfällt?

n = 12p = 0,4

P =

5.NormalverteilungMittel

Ziehe z so, dass die schattierte Fläche zwischen −z und z unter der Standardnormalverteilung gleich 0,9127 ist. Bestimme z auf zwei Nachkommastellen.

A = 0,9127

z =

6.NormalverteilungSchwer

Bohrungsdurchmesser D sind normalverteilt mit dem Mittelwert 25,02 mm und der Standardabweichung 0,01 mm. Wellendurchmesser d sind unabhängig und normalverteilt mit dem Mittelwert 25 mm und der Standardabweichung 0,01 mm. Eine zufällig gewählte Welle passt, wenn D − d > 0 ist. Bestimme die Wahrscheinlichkeit P, dass sie passt. Runde z auf zwei Dezimalstellen.

Bohrung: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmWelle: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.KonfidenzintervalleMittel

Die Akkulaufzeit zweier Handymodelle wird verglichen. Modell 1: 50 Handys, Mittelwert 127 h, bekannte Standardabweichung 6 h. Modell 2: 80 Handys, Mittelwert 117 h, bekannte Standardabweichung 16 h. Bestimme die Fehlermarge E des 95-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 127 hσ₁ = 6 hn₂ = 80x̄₂ = 117 hσ₂ = 16 h95%

E = h

8.KonfidenzintervalleSchwer

Die Durchmesser von 25 gefertigten Wellen haben eine Stichprobenstandardabweichung von 7,5 µm. Bestimme unter der Annahme normalverteilter Durchmesser die untere Grenze σ des 95-%-Konfidenzintervalls für die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Bei df = 24 liegen 2,5 % der χ²-Verteilung unter 12,401 und 2,5 % über 39,364.

n = 25s = 7,5 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Der Mittelwert einer Grundgesamtheit soll 50 betragen; die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist bekanntermaßen 18. Eine Zufallsstichprobe von 36 Beobachtungen hat den Mittelwert 45,2. Teste H₀: μ = 50 gegen H₁: μ ≠ 50. Bestimme den p-Wert p.

μ₀ = 50σ = 18n = 36x̄ = 45,2H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Eine Stichprobe von 25 Messungen hat den Mittelwert 57,6. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 20. Bestimme die obere Grenze U des 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

x̄ = 57,6σ = 20n = 2590%

U =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Bestimme den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Fahrzeugalter in Jahren und y = Preis in k€. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 19 voraus?

n = 6ŷ = 19

x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 17,14

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 195/6 = 32,5

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = (−10,5)² + 26,5² + 10,5² + 5,5² + (−17,5)² + (−14,5)² = 1470

Standardabweichung

s = √(1470/5) = 17,14

Antwort

s = 17,14

2.Beschreibende Statistik

Antwort: z = 2

Standardisieren

z = (86 − 70)/8 = 2

Antwort

z = 2

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,4242

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Erster und zweiter Zug

P = 8/12 · 7/11 = 56/132 = 0,4242

Antwort

P = 0,4242

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,01959

Null und ein Ausfall

P(X = 0) = 0,6¹² = 0,002177

P(X = 1) = 12·0,4·0,6¹¹ = 0,01741

Addieren

P = 0,002177 + 0,01741 = 0,01959

Antwort

P = 0,01959

5.Normalverteilung

Antwort: z = 1,71

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links von z

Φ(z) = (1 + 0,9127)/2 = 0,9564

Die z-Tabelle rückwärts lesen

Finde 0,9564 in der Tabelle und lies z ab.

z = 1,71

Antwort

z = 1,71

6.Normalverteilung

Antwort: P = 0,9207

Summen und Differenzen normalverteilter Variablen: Sind X und Y unabhängig und normalverteilt, sind auch X + Y und X − Y normalverteilt. Die Mittelwerte werden addiert oder subtrahiert: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Die Varianzen addieren sich immer, auch bei einer Differenz: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², also σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standardabweichungen werden nie direkt addiert. Die Summe von n unabhängigen Objekten mit derselben Verteilung hat den Mittelwert n·μ und die Standardabweichung σ·√n. Standardisiere dann wie gewohnt: z = (x − Mittelwert)/σ und lies Φ(z) ab.

Verteilung der Differenz

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01414 mm

Standardisieren

z = (0 − 0,02)/0,01414 = −1,41

Wahrscheinlichkeit

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Antwort

P = 0,9207

7.Konfidenzintervalle

Antwort: E = 3,881 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Punktschätzer

x̄₁ − x̄₂ = 127 − 117 = 10

Standardfehler

SE = √(6²/50 + 16²/80) = 1,98

Fehlermarge

E = 1,96·1,98 = 3,881

Antwort

E = 3,881 h

Das Intervall enthält die 0 nicht, die Mittelwerte unterscheiden sich also signifikant.

8.Konfidenzintervalle

Antwort: σ = 5,856 µm

Intervall für eine Varianz: (n − 1)s²/σ² ist χ²-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden. Das 95-%-Intervall für σ² reicht von (n − 1)s² geteilt durch den oberen χ²-Wert (2,5 % darüber) bis (n − 1)s² geteilt durch den unteren χ²-Wert (2,5 % darunter); das Intervall für σ ist die Wurzel beider Grenzen. Es ist nicht symmetrisch um s.

Quadratsumme

(n − 1)s² = 24·7,5² = 1350

Grenzen für σ²

1350/39,364 = 34,3

1350/12,401 = 108,9

Grenze für σ

σ = √34,3 = 5,856 µm

Antwort

σ = 5,856 µm

95-%-Intervall für σ: [5,856, 10,43] µm.

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: p = 0,1096

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Teststatistik

SE = σ/√n = 18/√36 = 3

z = (45,2 − 50)/3 = −1,6

Endfläche

Φ(1,6) = 0,9452

1 − Φ(1,6) = 0,0548

p-Wert

p = 2·0,0548 = 0,1096

Antwort

p = 0,1096

p > 0,05, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: U = 64,18

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Fehlermarge

E = 1,645·20/√25 = 6,58

Intervallgrenze

U = 57,6 + 6,58 = 64,18

Antwort

U = 64,18

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = 0,9695

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 509/5 = 101,8

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 198

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1043

Korrelationskoeffizient

r = 198/√(40·1043) = 0,9695

Antwort

r = 0,9695

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 4,178

Mittelwerte

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 119/6 = 19,83

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21,5

Regressionsgerade

b = −21,5/17,5 = −1,229

a = 19,83 − (−1,229)·3,5 = 24,13

ŷ = 24,13 − 1,229·x

Nach x auflösen

x = (19 − 24,13)/(−1,229) = 4,178

Antwort

x = 4,178

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