Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 47, 37, 15, 57, 39, 40.

n = 6

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 10. Welcher Anteil P der Werte liegt unter 60?

μ = 50σ = 10x = 60

P =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Ein Beutel enthält 5 rote und 7 blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln, ohne die erste zurückzulegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass beide rot sind?

5 / 7

P =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

10 Bauteile werden geprüft, und jedes fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,5 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass höchstens eines ausfällt?

n = 10p = 0,5

P =

5.NormalverteilungMittel

Die Körpergrößen erwachsener Männer sind normalverteilt mit dem Mittelwert 178 cm und der Standardabweichung 7 cm. Welcher Anteil liegt zwischen 176,25 und 185 cm? Gib P als Dezimalzahl an.

μ = 178σ = 7x₁ = 176,25x₂ = 185

P =

6.NormalverteilungSchwer

Die Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit dem Mittelwert 65 Punkte und der Standardabweichung 10 Punkte. Bestimme den Wert x, unter dem 5 % von ihnen liegen (das 5. Perzentil).

μ = 65σ = 10P = 5%

x = Punkte

7.KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 7 Elementen hat den Mittelwert 19,5 und die Standardabweichung s = 8,5. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die obere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

n = 7x̄ = 19,5s = 8,590%t(6) = 1,943

obere Grenze =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 33. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 90-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 1,5 hat?

σ = 33E = 1,590%

n =

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 49 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 71,23 und eine Stichproben-Standardabweichung von 12. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 71,23s = 12n = 49

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Ein einseitiger z-Test bei α = 0,01 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 3 Einheiten mit einer Teststärke von 80 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 20. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.

α = 0,01Teststärke = 80%δ = 3σ = 20z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Last in kN und y = Verlängerung in mm. Bestimme den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 86 voraus?

n = 6ŷ = 86

x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 13,92

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 235/6 = 39,17

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = 7,833² + (−2,167)² + (−24,17)² + 17,83² + (−0,1667)² + 0,8333² = 968,8

Standardabweichung

s = √(968,8/5) = 13,92

Antwort

s = 13,92

2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,8413

Standardisieren

z = 1

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Antwort

P = 0,8413

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,1515

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Erster und zweiter Zug

P = 5/12 · 4/11 = 20/132 = 0,1515

Antwort

P = 0,1515

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,01074

Null und ein Ausfall

P(X = 0) = 0,5¹⁰ = 0,0009766

P(X = 1) = 10·0,5·0,5⁹ = 0,009766

Addieren

P = 0,0009766 + 0,009766 = 0,01074

Antwort

P = 0,01074

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,4401

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Werte

z₁ = (176,25 − 178)/7 = −0,25

z₂ = (185 − 178)/7 = 1

Fläche dazwischen

P = Φ(1) − Φ(−0,25) = 0,8413 − 0,4013 = 0,4401

Antwort

P = 0,4401

6.Normalverteilung

Antwort: x = 48,55 Punkte

z für das Perzentil

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Zurück zu x

x = 65 + −1,645·10 = 48,55 Punkte

Antwort

x = 48,55 Punkte

7.Konfidenzintervalle

Antwort: obere Grenze = 25,74

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Kritischer Wert

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Fehlermarge

E = 1,943·8,5/√7 = 6,242

Intervall

19,5 ± 6,242 → [13,26, 25,74]

Antwort

obere Grenze = 25,74

8.Konfidenzintervalle

Antwort: n = 1310

Nach n auflösen

n = (1,645·33/1,5)² = 1310

Aufrunden

Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.

n = 1310

Antwort

n = 1310

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = −2,199

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Standardfehler

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

Teststatistik

t = (71,23 − 75)/1,714 = −2,199

Antwort

t = −2,199

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: n = 447

Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.

Nach n auflösen

n = ((2,326 + 0,842)·20/3)² = 446,1

Aufrunden

n = 447

Antwort

n = 447

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = 0,9723

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 67/5 = 13,4

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 115,2

Korrelationskoeffizient

r = 66/√(40·115,2) = 0,9723

Antwort

r = 0,9723

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 5,532

Mittelwerte

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 423/6 = 70,5

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 133,5

Regressionsgerade

b = 133,5/17,5 = 7,629

a = 70,5 − 7,629·3,5 = 43,8

ŷ = 43,8 + 7,629·x

Nach x auflösen

x = (86 − 43,8)/7,629 = 5,532

Antwort

x = 5,532

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1