Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 18, 15, 41, 13, 28.

n = 5

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 60 und Standardabweichung 10. Welcher Anteil P der Werte liegt über 72,5?

μ = 60σ = 10x = 72,5

P =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Ein Beutel enthält 6 rote und 7 blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln, ohne die erste zurückzulegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass beide rot sind?

6 / 7

P =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

Ein Spiel kostet €3 Einsatz. Du gewinnst €12 mit der Wahrscheinlichkeit 0,25 und €60 mit der Wahrscheinlichkeit 0,05; sonst gewinnst du nichts. Der Einsatz wird nicht zurückgegeben. Bestimme den erwarteten Nettogewinn E(G) pro Spiel.

Einsatz = €3€12: p = 0,25€60: p = 0,05

E(G) = €

5.NormalverteilungMittel

Die Gewichte von Beuteln sind normalverteilt mit dem Mittelwert 250 g und der Standardabweichung 5 g. Welcher Anteil liegt zwischen 247,75 und 255,25 g? Gib P als Dezimalzahl an.

μ = 250σ = 5x₁ = 247,75x₂ = 255,25

P =

6.NormalverteilungSchwer

Die IQ-Werte sind normalverteilt mit dem Mittelwert 100 Punkte und der Standardabweichung 15 Punkte. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten unteren 80 % links davon liegen. Bestimme die Grenze x.

μ = 100 Punkteσ = 15 Punkte80%

x = Punkte

7.KonfidenzintervalleMittel

Die Akkulaufzeit zweier Handymodelle wird verglichen. Modell 1: 30 Handys, Mittelwert 128 h, bekannte Standardabweichung 9 h. Modell 2: 60 Handys, Mittelwert 137,5 h, bekannte Standardabweichung 6 h. Bestimme die obere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 128 hσ₁ = 9 hn₂ = 60x̄₂ = 137,5 hσ₂ = 6 h90%

obere Grenze = h

8.KonfidenzintervalleSchwer

Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 8 Parzellen, mittlerer Ertrag 12,5 kg, Standardabweichung 5,5 kg. Parzellengruppe 2: 18 Parzellen, Mittelwert 23 kg, Standardabweichung 2,5 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die obere Grenze des 99-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 12,5s₁ = 5,5n₂ = 18x̄₂ = 23s₂ = 2,599%t(24) = 2,797

obere Grenze = kg

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

12 Mitarbeitende machen vor und nach einem Schulungskurs einen Schreibtest. Für jede Person wird die Differenz d = nachher − vorher (Wörter pro Minute) erfasst. Die mittlere Differenz beträgt −4,89 und die Standardabweichung der Differenzen 11,3. Bestimme die Teststatistik t des verbundenen Tests für H₀: μ_d = 0.

n = 12d̄ = −4,89s_d = 11,3

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Ein einseitiger z-Test bei α = 0,05 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 2 Einheiten mit einer Teststärke von 90 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 9. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.

α = 0,05Teststärke = 90%δ = 2σ = 9z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Fahrzeugalter in Jahren und y = Preis in k€. Ihre Summen sind gegeben. Bestimme daraus den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 5Σx = 15Σy = 119Σx² = 55Σy² = 2855Σxy = 343

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 94 voraus?

n = 6ŷ = 94

x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 11,6

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 115/5 = 23

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = (−5)² + (−8)² + 18² + (−10)² + 5² = 538

Standardabweichung

s = √(538/4) = 11,6

Antwort

s = 11,6

2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,1056

Standardisieren

z = 1,25

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Antwort

P = 0,1056

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,1923

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Erster und zweiter Zug

P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0,1923

Antwort

P = 0,1923

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: E(G) = 3 €

Diskrete Zufallsvariablen: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung listet jeden Wert x, den eine Variable annehmen kann, mit seiner Wahrscheinlichkeit p(x) auf; die Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 und summieren sich zu 1. Der Erwartungswert (Mittelwert) ist E(X) = Σx·p(x), der Durchschnitt auf lange Sicht. Die Varianz ist Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², und die Standardabweichung ist σ = √Var(X). Für eine lineare Änderung Y = aX + b gilt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) und σ_Y = |a|·σ_X; das Addieren einer Konstanten ändert die Streuung nicht.

Nettoergebnisse

G: 9 (p = 0,25), 57 (p = 0,05), −3 (p = 0,7)

Erwartungswert

E(G) = 9·0,25 + 57·0,05 − 3·0,7 = 3 €

Antwort

E(G) = 3 €

Ein positiver Wert bedeutet, dass du im Durchschnitt Geld gewinnst.

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,5268

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Werte

z₁ = (247,75 − 250)/5 = −0,45

z₂ = (255,25 − 250)/5 = 1,05

Fläche dazwischen

P = Φ(1,05) − Φ(−0,45) = 0,8531 − 0,3264 = 0,5268

Antwort

P = 0,5268

6.Normalverteilung

Antwort: x = 112,6 Punkte

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links

Φ(z) = 0,8

z aus der Tabelle

z ≈ 0,84

Zurück zu den ursprünglichen Einheiten

x = 100 + 0,84·15 = 112,6 Punkte

Antwort

x = 112,6 Punkte

7.Konfidenzintervalle

Antwort: obere Grenze = −6,512 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Punktschätzer

x̄₁ − x̄₂ = 128 − 137,5 = −9,5

Standardfehler

SE = √(9²/30 + 6²/60) = 1,817

Fehlermarge

E = 1,645·1,817 = 2,988

Intervall

−9,5 ± 2,988 → [−12,49, −6,512]

Antwort

obere Grenze = −6,512 h

Das Intervall enthält die 0 nicht, die Mittelwerte unterscheiden sich also signifikant.

8.Konfidenzintervalle

Antwort: obere Grenze = −6,174 kg

Gepoolte Standardabweichung

s_p² = (7·5,5² + 17·2,5²)/24 = 13,25

s_p = 3,64

Fehlermarge

E = 2,797·3,64·√(1/8 + 1/18) = 4,326

Intervall

−10,5 ± 4,326 → [−14,83, −6,174]

Antwort

obere Grenze = −6,174 kg

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = −1,499

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standardfehler der mittleren Differenz

SE = 11,3/√12 = 3,262

Teststatistik

t = −4,89/3,262 = −1,499

Antwort

t = −1,499

Bei df = 11 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,201; |t| ist kleiner, also wird H₀ nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: n = 174

Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.

Nach n auflösen

n = ((1,645 + 1,282)·9/2)² = 173,5

Aufrunden

n = 174

Antwort

n = 174

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = −0,9272

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Zentrierte Summen

S_xy = 343 − 15·119/5 = −14

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2855 − 119²/5 = 22,8

Korrelationskoeffizient

r = −14/√(10·22,8) = −0,9272

Antwort

r = −0,9272

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 18,42

Mittelwerte

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 667/6 = 111,2

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 877,5

Regressionsgerade

b = 877,5/157,5 = 5,571

a = 111,2 − 5,571·21,5 = −8,619

ŷ = −8,619 + 5,571·x

Nach x auflösen

x = (94 − (−8,619))/5,571 = 18,42

Antwort

x = 18,42

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