Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 24, 54, 13, 47, 41, 32, 27.

n = 7

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 5. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 92,5.

μ = 100σ = 5x = 92,5

z =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Auf wie viele Arten N kann ein Ausschuss von 5 Personen aus einer Gruppe von 7 gewählt werden? Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

n = 7k = 5

N =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

X hat die gezeigte Verteilung, und Y = 3X + 10. Bestimme die Standardabweichung σ_Y von Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,25, 0,1, 0,3Y = 3X + 10

σ_Y =

5.NormalverteilungMittel

Die IQ-Werte sind normalverteilt mit dem Mittelwert 100 Punkte und der Standardabweichung 15 Punkte. Welcher Anteil liegt zwischen 88,75 und 118 Punkte? Gib P als Dezimalzahl an.

μ = 100σ = 15x₁ = 88,75x₂ = 118

P =

6.NormalverteilungSchwer

Die Lieferzeiten sind normalverteilt mit dem Mittelwert 32 min und der Standardabweichung 6 min. Bestimme den Wert x, unter dem 10 % von ihnen liegen (das 10. Perzentil).

μ = 32σ = 6P = 10%

x = min

7.KonfidenzintervalleMittel

Ein 99-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert, basierend auf 100 Beobachtungen und bekanntem σ, hat eine Fehlermarge von 10,4. Wie groß ist die Fehlermarge E₂ eines 95-%-Intervalls auf Basis von 25 Beobachtungen?

99%n₁ = 100E₁ = 10,495%n₂ = 25

E₂ =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 39. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 90-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 5 hat?

σ = 39E = 590%

n =

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

7 Mitarbeitende machen vor und nach einem Schulungskurs einen Schreibtest. Für jede Person wird die Differenz d = nachher − vorher (Wörter pro Minute) erfasst. Die mittlere Differenz beträgt 7,62 und die Standardabweichung der Differenzen 5,6. Bestimme die Teststatistik t des verbundenen Tests für H₀: μ_d = 0.

n = 7d̄ = 7,62s_d = 5,6

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Ein einseitiger z-Test von H₀: μ = 500 gegen H₁: μ > 500 wird bei α = 0,10 mit einer Stichprobe von 64 durchgeführt; die Standardabweichung ist bekanntermaßen 4. In Wirklichkeit beträgt der Mittelwert 501,5. Bestimme die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art β in Prozent.

μ₀ = 500μ = 501,5σ = 4n = 64α = 0,10

β = %

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Ihre Summen sind gegeben. Bestimme daraus den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 6Σx = 114Σy = 305Σx² = 2236Σy² = 15951Σxy = 5968

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Fahrzeugalter in Jahren und y = Preis in k€. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Eine neue Beobachtung (2,5, 25) wird gemacht. Bestimme ihr Residuum e = y − ŷ.

n = 6(2,5, 25)

e =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 14,21

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 238/7 = 34

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = (−10)² + 20² + (−21)² + 13² + 7² + (−2)² + (−7)² = 1212

Standardabweichung

s = √(1212/6) = 14,21

Antwort

s = 14,21

2.Beschreibende Statistik

Antwort: z = −1,5

Standardisieren

z = (92,5 − 100)/5 = −1,5

Antwort

z = −1,5

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: N = 21

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinationen

C(7, 5) = (7·6·5·4·3)/(5·4·3·2·1) = 21

Antwort

N = 21

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: σ_Y = 3,708

Diskrete Zufallsvariablen: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung listet jeden Wert x, den eine Variable annehmen kann, mit seiner Wahrscheinlichkeit p(x) auf; die Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 und summieren sich zu 1. Der Erwartungswert (Mittelwert) ist E(X) = Σx·p(x), der Durchschnitt auf lange Sicht. Die Varianz ist Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², und die Standardabweichung ist σ = √Var(X). Für eine lineare Änderung Y = aX + b gilt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) und σ_Y = |a|·σ_X; das Addieren einer Konstanten ändert die Streuung nicht.

Streuung von X

μ = 1,35, Var(X) = 1,528, σ_X = 1,236

Lineare Änderung

σ_Y = |3|·1,236 = 3,708

Antwort

σ_Y = 3,708

Der Mittelwert verschiebt sich sehr wohl: E(Y) = 3·1,35 + 10 = 14,05.

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,6583

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Werte

z₁ = (88,75 − 100)/15 = −0,75

z₂ = (118 − 100)/15 = 1,2

Fläche dazwischen

P = Φ(1,2) − Φ(−0,75) = 0,8849 − 0,2266 = 0,6583

Antwort

P = 0,6583

6.Normalverteilung

Antwort: x = 24,31 min

z für das Perzentil

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Zurück zu x

x = 32 + −1,282·6 = 24,31 min

Antwort

x = 24,31 min

7.Konfidenzintervalle

Antwort: E₂ = 15,83

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Verhältnis der Fehlermargen

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(100/25) = 1,522

Neue Fehlermarge

E₂ = 10,4·1,522 = 15,83

Antwort

E₂ = 15,83

8.Konfidenzintervalle

Antwort: n = 165

Nach n auflösen

n = (1,645·39/5)² = 164,6

Aufrunden

Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.

n = 165

Antwort

n = 165

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = 3,6

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Standardfehler der mittleren Differenz

SE = 5,6/√7 = 2,117

Teststatistik

t = 7,62/2,117 = 3,6

Antwort

t = 3,6

Bei df = 6 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,447; |t| ist größer, also wird H₀ verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: β = 4,29 %

Teststärke: Die Teststärke 1 − β ist die Wahrscheinlichkeit, H₀ zu verwerfen, wenn sie falsch ist. Bestimme die Grenze x̄c aus μ₀ und z_α und berechne dann mit dem wahren Mittelwert die Wahrscheinlichkeit, jenseits von x̄c zu landen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritischer Stichprobenmittelwert

SE = 4/√64 = 0,5

x̄_c = 500 + 1,282·0,5 = 500,6

z unter dem wahren Mittelwert

z = (500,6 − 501,5)/0,5 = −1,718

Fehler 2. Art

Teststärke = P(Z > −1,718) = 95,71%

β = 100% − 95,71% = 4,29%

Antwort

β = 4,29%

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = 0,9782

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Zentrierte Summen

S_xy = 5968 − 114·305/6 = 173

S_xx = 2236 − 114²/6 = 70

S_yy = 15951 − 305²/6 = 446,8

Korrelationskoeffizient

r = 173/√(70·446,8) = 0,9782

Antwort

r = 0,9782

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: e = 3,052

Mittelwerte

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 113/6 = 18,83

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −54,5

Regressionsgerade

b = −54,5/17,5 = −3,114

a = 18,83 − (−3,114)·3,5 = 29,73

ŷ = 29,73 − 3,114·x

Vorhergesagter Wert

ŷ = 29,73 + (−3,114)·2,5 = 21,95

Residuum

e = 25 − 21,95 = 3,052

Antwort

e = 3,052

Der Punkt liegt über der Geraden.

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