Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 30, 56, 24, 33, 51, 10.

n = 6

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 25. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 525.

μ = 500σ = 25x = 525

z =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Auf wie viele Arten N kann ein Ausschuss von 2 Personen aus einer Gruppe von 10 gewählt werden? Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

n = 10k = 2

N =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

Ein Test hat 6 Multiple-Choice-Fragen. Eine Studentin, die rät, beantwortet jede unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,1 richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P für genau 5 richtige Antworten?

n = 6p = 0,1k = 5

P =

5.NormalverteilungMittel

Ziehe z so, dass die schattierte Fläche zwischen −z und z unter der Standardnormalverteilung gleich 0,9357 ist. Bestimme z auf zwei Nachkommastellen.

A = 0,9357

z =

6.NormalverteilungSchwer

Die Lebensdauern von Batterien sind normalverteilt mit dem Mittelwert 500 h und der Standardabweichung 40 h. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten oberen 80 % rechts davon liegen. Bestimme die Grenze x.

μ = 500 hσ = 40 h80%

x = h

7.KonfidenzintervalleMittel

Die Akkulaufzeit zweier Handymodelle wird verglichen. Modell 1: 100 Handys, Mittelwert 72,5 h, bekannte Standardabweichung 9 h. Modell 2: 40 Handys, Mittelwert 77,5 h, bekannte Standardabweichung 15 h. Bestimme die Fehlermarge E des 99-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 72,5 hσ₁ = 9 hn₂ = 40x̄₂ = 77,5 hσ₂ = 15 h99%

E = h

8.KonfidenzintervalleSchwer

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 13. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 99-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 3 hat?

σ = 13E = 399%

n =

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 36 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 209,7 und eine Stichproben-Standardabweichung von 20. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 209,7s = 20n = 36

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Ein einseitiger z-Test von H₀: μ = 80 gegen H₁: μ < 80 wird bei α = 0.10 mit einer Stichprobe von 100 durchgeführt; die Standardabweichung ist bekanntermaßen 15. In Wirklichkeit beträgt der Mittelwert 76.25. Bestimme die Teststärke (Power) 1 − β des Tests in Prozent.

μ₀ = 80μ = 76,25σ = 15n = 100α = 0,10

1 − β = %

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Bestimme den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 81 voraus?

n = 5ŷ = 81

x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 17,12

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 204/6 = 34

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = (−4)² + 22² + (−10)² + (−1)² + 17² + (−24)² = 1466

Standardabweichung

s = √(1466/5) = 17,12

Antwort

s = 17,12

2.Beschreibende Statistik

Antwort: z = 1

Standardisieren

z = (525 − 500)/25 = 1

Antwort

z = 1

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: N = 45

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinationen

C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45

Antwort

N = 45

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 5,4 × 10⁻⁵

Binomialformel

P(X = 5) = 6·0,1⁵·0,9¹ = 6·1 × 10⁻⁵·0,9 = 5,4 × 10⁻⁵

Antwort

P = 5,4 × 10⁻⁵

5.Normalverteilung

Antwort: z = 1,85

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links von z

Φ(z) = (1 + 0,9357)/2 = 0,9678

Die z-Tabelle rückwärts lesen

Finde 0,9678 in der Tabelle und lies z ab.

z = 1,85

Antwort

z = 1,85

6.Normalverteilung

Antwort: x = 466 h

Fläche links

Φ(z) = 0,2

z aus der Tabelle

z ≈ −0,84

Zurück zu den ursprünglichen Einheiten

x = 500 − 0,84·40 = 466 h

Antwort

x = 466 h

7.Konfidenzintervalle

Antwort: E = 6,535 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Punktschätzer

x̄₁ − x̄₂ = 72,5 − 77,5 = −5

Standardfehler

SE = √(9²/100 + 15²/40) = 2,537

Fehlermarge

E = 2,576·2,537 = 6,535

Antwort

E = 6,535 h

Das Intervall enthält die 0, die Daten zeigen also keinen signifikanten Unterschied.

8.Konfidenzintervalle

Antwort: n = 125

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Nach n auflösen

n = (2,576·13/3)² = 124,6

Aufrunden

Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.

n = 125

Antwort

n = 125

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = 2,91

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Standardfehler

SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333

Teststatistik

t = (209,7 − 200)/3,333 = 2,91

Antwort

t = 2,91

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: 1 − β = 88,84 %

Teststärke: Die Teststärke 1 − β ist die Wahrscheinlichkeit, H₀ zu verwerfen, wenn sie falsch ist. Bestimme die Grenze x̄c aus μ₀ und z_α und berechne dann mit dem wahren Mittelwert die Wahrscheinlichkeit, jenseits von x̄c zu landen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritischer Stichprobenmittelwert

SE = 15/√100 = 1,5

x̄_c = 80 − 1,282·1,5 = 78,08

z unter dem wahren Mittelwert

z = (78,08 − 76,25)/1,5 = 1,218

Leistung

Teststärke = P(Z < 1.218) = 88.84%

1 − β = 88,84%

Antwort

1 − β = 88,84%

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = 0,9937

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 556/6 = 92,67

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 378

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2067

Korrelationskoeffizient

r = 378/√(70·2067) = 0,9937

Antwort

r = 0,9937

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 16,59

Mittelwerte

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 533/5 = 106,6

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 522

Regressionsgerade

b = 522/90 = 5,8

a = 106,6 − 5,8·21 = −15,2

ŷ = −15,2 + 5,8·x

Nach x auflösen

x = (81 − (−15,2))/5,8 = 16,59

Antwort

x = 16,59

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