Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 31, 33, 47, 23, 52.

n = 5

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 20. Welcher Anteil P der Werte liegt über 60?

μ = 100σ = 20x = 60

P =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Ein fairer Würfel wird 7-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, mindestens eine Sechs zu würfeln?

n = 7

P =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

9 Bauteile werden geprüft, und jedes fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,2 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass höchstens eines ausfällt?

n = 9p = 0,2

P =

5.NormalverteilungMittel

Gegeben sind Passagiere mit Gepäck; ihre Massen sind unabhängig und normalverteilt mit dem Mittelwert 85 kg und der Standardabweichung 12 kg. Bestimme die Wahrscheinlichkeit P, dass die Gesamtmasse von 16 davon unter 1384 kg liegt. Runde z auf zwei Dezimalstellen.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16< 1384 kg

P =

6.NormalverteilungSchwer

Die Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit dem Mittelwert 65 Punkte und der Standardabweichung 10 Punkte. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten oberen 5 % rechts davon liegen. Bestimme die Grenze x.

μ = 65 Punkteσ = 10 Punkte5%

x = Punkte

7.KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 8 Elementen hat den Mittelwert 112,5 und die Standardabweichung s = 1. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die Fehlermarge E eines 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

n = 8x̄ = 112,5s = 190%t(7) = 1,895

E =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 21 Parzellen, mittlerer Ertrag 55,5 kg, Standardabweichung 4 kg. Parzellengruppe 2: 10 Parzellen, Mittelwert 63 kg, Standardabweichung 8 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die obere Grenze des 95-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 21x̄₁ = 55,5s₁ = 4n₂ = 10x̄₂ = 63s₂ = 895%t(29) = 2,045

obere Grenze = kg

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Zwei Fertigungslinien stellen dasselbe Teil her. Linie 1: Eine Stichprobe von 50 Teilen hat die mittlere Länge 50,5 mm, und die bekannte Standardabweichung der Linie ist 17 mm. Linie 2: Eine Stichprobe von 30 Teilen hat den Mittelwert 52,6 mm, bekannte Standardabweichung 14 mm. Bestimme die Teststatistik z für H₀: μ₁ = μ₂, mit der Differenz x̄₁ − x̄₂ (Linie 1 minus Linie 2).

n₁ = 50x̄₁ = 50,5 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 30x̄₂ = 52,6 mmσ₂ = 14 mm

z =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Ein einseitiger z-Test bei α = 0,05 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 5 Einheiten mit einer Teststärke von 90 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 28. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.

α = 0,05Teststärke = 90%δ = 5σ = 28z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Fahrzeugalter in Jahren und y = Preis in k€. Bestimme den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Last in kN und y = Verlängerung in mm. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 22 voraus?

n = 6ŷ = 22

x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 11,97

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 186/5 = 37,2

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = (−6,2)² + (−4,2)² + 9,8² + (−14,2)² + 14,8² = 572,8

Standardabweichung

s = √(572,8/4) = 11,97

Antwort

s = 11,97

2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,9772

Standardisieren

z = −2

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Antwort

P = 0,9772

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,7209

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gegenereignis

P(keine Sechs) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Antwort

P = 0,7209

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,4362

Null und ein Ausfall

P(X = 0) = 0,8⁹ = 0,1342

P(X = 1) = 9·0,2·0,8⁸ = 0,302

Addieren

P = 0,1342 + 0,302 = 0,4362

Antwort

P = 0,4362

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,6915

Summen und Differenzen normalverteilter Variablen: Sind X und Y unabhängig und normalverteilt, sind auch X + Y und X − Y normalverteilt. Die Mittelwerte werden addiert oder subtrahiert: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Die Varianzen addieren sich immer, auch bei einer Differenz: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², also σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standardabweichungen werden nie direkt addiert. Die Summe von n unabhängigen Objekten mit derselben Verteilung hat den Mittelwert n·μ und die Standardabweichung σ·√n. Standardisiere dann wie gewohnt: z = (x − Mittelwert)/σ und lies Φ(z) ab.

Verteilung der Summe

μ_T = 1360 kg, σ_T = 12·√16 = 48 kg

Standardisieren

z = (1384 − 1360)/48 = 0,5

Wahrscheinlichkeit

P = Φ(0,5) = 0,6915

Antwort

P = 0,6915

6.Normalverteilung

Antwort: x = 81,4 Punkte

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links

Φ(z) = 0,95

z aus der Tabelle

z ≈ 1,64

Zurück zu den ursprünglichen Einheiten

x = 65 + 1,64·10 = 81,4 Punkte

Antwort

x = 81,4 Punkte

7.Konfidenzintervalle

Antwort: E = 0,67

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Kritischer Wert

df = n − 1 = 7, t = 1,895

Fehlermarge

E = 1,895·1/√8 = 0,67

Antwort

E = 0,67

8.Konfidenzintervalle

Antwort: obere Grenze = −3,133 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolte Standardabweichung

s_p² = (20·4² + 9·8²)/29 = 30,9

s_p = 5,558

Fehlermarge

E = 2,045·5,558·√(1/21 + 1/10) = 4,367

Intervall

−7,5 ± 4,367 → [−11,87, −3,133]

Antwort

obere Grenze = −3,133 kg

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: z = −0,5985

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standardfehler der Differenz

SE = √(17²/50 + 14²/30) = √12,31 = 3,509

Teststatistik

z = (50,5 − 52,6)/3,509 = −0,5985

Antwort

z = −0,5985

|z| < 1.96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: n = 269

Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.

Nach n auflösen

n = ((1,645 + 1,282)·28/5)² = 268,7

Aufrunden

n = 269

Antwort

n = 269

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = −0,9731

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 117/6 = 19,5

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −44,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 119,5

Korrelationskoeffizient

r = −44,5/√(17,5·119,5) = −0,9731

Antwort

r = −0,9731

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 10,78

Mittelwerte

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 87/6 = 14,5

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 139

Regressionsgerade

b = 139/70 = 1,986

a = 14,5 − 1,986·7 = 0,6

ŷ = 0,6 + 1,986·x

Nach x auflösen

x = (22 − 0,6)/1,986 = 10,78

Antwort

x = 10,78

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1