Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 51, 16, 23, 60, 17.

n = 5

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 75. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 612,5.

μ = 500σ = 75x = 612,5

z =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Ein Beutel enthält 3 rote und 7 blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln, ohne die erste zurückzulegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass beide rot sind?

3 / 7

P =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

Ein Test hat 5 Multiple-Choice-Fragen. Eine Studentin, die rät, beantwortet jede unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,1 richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P für genau 2 richtige Antworten?

n = 5p = 0,1k = 2

P =

5.NormalverteilungMittel

Die Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit dem Mittelwert 65 Punkte und der Standardabweichung 10 Punkte. Welcher Anteil liegt zwischen 49 und 70,5 Punkte? Gib P als Dezimalzahl an.

μ = 65σ = 10x₁ = 49x₂ = 70,5

P =

6.NormalverteilungSchwer

Die Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit dem Mittelwert 65 Punkte und der Standardabweichung 10 Punkte. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten oberen 75 % rechts davon liegen. Bestimme die Grenze x.

μ = 65 Punkteσ = 10 Punkte75%

x = Punkte

7.KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 21 Elementen hat den Mittelwert 44 und die Standardabweichung s = 17,5. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die untere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

n = 21x̄ = 44s = 17,590%t(20) = 1,725

untere Grenze =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 20 Parzellen, mittlerer Ertrag 64 kg, Standardabweichung 1 kg. Parzellengruppe 2: 6 Parzellen, Mittelwert 56,5 kg, Standardabweichung 9 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die obere Grenze des 95-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 20x̄₁ = 64s₁ = 1n₂ = 6x̄₂ = 56,5s₂ = 995%t(24) = 2,064

obere Grenze = kg

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Der Mittelwert einer Grundgesamtheit soll 500 betragen; die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist bekanntermaßen 24. Eine Zufallsstichprobe von 64 Beobachtungen hat den Mittelwert 502,46. Teste H₀: μ = 500 gegen H₁: μ > 500. Bestimme den p-Wert p.

μ₀ = 500σ = 24n = 64x̄ = 502,46H₁: μ > μ₀

p =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Ein einseitiger z-Test von H₀: μ = 100 gegen H₁: μ > 100 wird bei α = 0,10 mit einer Stichprobe von 36 durchgeführt; die Standardabweichung ist bekanntermaßen 12. In Wirklichkeit beträgt der Mittelwert 102,6. Bestimme die Teststärke (Power) 1 − β des Tests in Prozent.

μ₀ = 100μ = 102,6σ = 12n = 36α = 0,10

1 − β = %

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Bestimme den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Eine neue Beobachtung (21, 119) wird gemacht. Bestimme ihr Residuum e = y − ŷ.

n = 6(21, 119)

e =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 20,6

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 167/5 = 33,4

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = 17,6² + (−17,4)² + (−10,4)² + 26,6² + (−16,4)² = 1697

Standardabweichung

s = √(1697/4) = 20,6

Antwort

s = 20,6

2.Beschreibende Statistik

Antwort: z = 1,5

Standardisieren

z = (612,5 − 500)/75 = 1,5

Antwort

z = 1,5

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,06667

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Erster und zweiter Zug

P = 3/10 · 2/9 = 6/90 = 0,06667

Antwort

P = 0,06667

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,0729

Binomialformel

P(X = 2) = 10·0,1²·0,9³ = 10·0,01·0,729 = 0,0729

Antwort

P = 0,0729

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,654

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Werte

z₁ = (49 − 65)/10 = −1,6

z₂ = (70,5 − 65)/10 = 0,55

Fläche dazwischen

P = Φ(0,55) − Φ(−1,6) = 0,7088 − 0,0548 = 0,654

Antwort

P = 0,654

6.Normalverteilung

Antwort: x = 58,3 Punkte

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links

Φ(z) = 0,25

z aus der Tabelle

z ≈ −0,67

Zurück zu den ursprünglichen Einheiten

x = 65 − 0,67·10 = 58,3 Punkte

Antwort

x = 58,3 Punkte

7.Konfidenzintervalle

Antwort: untere Grenze = 37,41

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Kritischer Wert

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Fehlermarge

E = 1,725·17,5/√21 = 6,587

Intervall

44 ± 6,587 → [37,41, 50,59]

Antwort

untere Grenze = 37,41

8.Konfidenzintervalle

Antwort: obere Grenze = 11,54 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolte Standardabweichung

s_p² = (19·1² + 5·9²)/24 = 17,67

s_p = 4,203

Fehlermarge

E = 2,064·4,203·√(1/20 + 1/6) = 4,038

Intervall

7,5 ± 4,038 → [3,462, 11,54]

Antwort

obere Grenze = 11,54 kg

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: p = 0,2061

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Teststatistik

SE = σ/√n = 24/√64 = 3

z = (502,46 − 500)/3 = 0,82

Endfläche

Φ(0,82) = 0,7939

1 − Φ(0,82) = 0,2061

p-Wert

p = 0,2061

Antwort

p = 0,2061

p > 0,05, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: 1 − β = 50,72 %

Teststärke: Die Teststärke 1 − β ist die Wahrscheinlichkeit, H₀ zu verwerfen, wenn sie falsch ist. Bestimme die Grenze x̄c aus μ₀ und z_α und berechne dann mit dem wahren Mittelwert die Wahrscheinlichkeit, jenseits von x̄c zu landen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritischer Stichprobenmittelwert

SE = 12/√36 = 2

x̄_c = 100 + 1,282·2 = 102,6

z unter dem wahren Mittelwert

z = (102,6 − 102,6)/2 = −0,018

Leistung

Teststärke = P(Z > −0,018) = 50,72%

1 − β = 50,72%

Antwort

1 − β = 50,72%

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = 0,929

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 273/5 = 54,6

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 46

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 245,2

Korrelationskoeffizient

r = 46/√(10·245,2) = 0,929

Antwort

r = 0,929

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: e = 5,029

Mittelwerte

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 750/6 = 125

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 386

Regressionsgerade

b = 386/70 = 5,514

a = 125 − 5,514·23 = −1,829

ŷ = −1,829 + 5,514·x

Vorhergesagter Wert

ŷ = −1,829 + 5,514·21 = 114

Residuum

e = 119 − 114 = 5,029

Antwort

e = 5,029

Der Punkt liegt über der Geraden.

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