Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 56, 20, 14, 39, 19, 51, 49.

n = 7

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 10. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 40.

μ = 50σ = 10x = 40

z =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Ein fairer Würfel wird 8-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, mindestens eine Sechs zu würfeln?

n = 8

P =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

7 Bauteile werden geprüft, und jedes fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,3 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass höchstens eines ausfällt?

n = 7p = 0,3

P =

5.NormalverteilungMittel

Die IQ-Werte sind normalverteilt mit dem Mittelwert 100 Punkte und der Standardabweichung 15 Punkte. Welcher Anteil liegt zwischen 76 und 112 Punkte? Gib P als Dezimalzahl an.

μ = 100σ = 15x₁ = 76x₂ = 112

P =

6.NormalverteilungSchwer

Die Körpergrößen erwachsener Männer sind normalverteilt mit dem Mittelwert 178 cm und der Standardabweichung 7 cm. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten oberen 10 % rechts davon liegen. Bestimme die Grenze x.

μ = 178 cmσ = 7 cm10%

x = cm

7.KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 13 Elementen hat den Mittelwert 81,5 und die Standardabweichung s = 18,5. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die obere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

n = 13x̄ = 81,5s = 18,590%t(12) = 1,782

obere Grenze =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Die Durchmesser von 10 gefertigten Wellen haben eine Stichprobenstandardabweichung von 7 µm. Bestimme unter der Annahme normalverteilter Durchmesser die obere Grenze σ des 95-%-Konfidenzintervalls für die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Bei df = 9 liegen 2,5 % der χ²-Verteilung unter 2,7 und 2,5 % über 19,023.

n = 10s = 7 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Zwei Lehrmethoden werden verglichen. Gruppe 1: 5 Studierende, mittlere Punktzahl 20, Standardabweichung 8. Gruppe 2: 7 Studierende, mittlere Punktzahl 33,9, Standardabweichung 11. Nimm gleiche Varianzen der Grundgesamtheiten an und verwende den gepoolten Zweistichproben-t-Test. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ₁ = μ₂, mit der Differenz x̄₁ − x̄₂ (Gruppe 1 minus Gruppe 2).

n₁ = 5x̄₁ = 20s₁ = 8n₂ = 7x̄₂ = 33,9s₂ = 11

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Eine Stichprobe von 16 Messungen hat den Mittelwert 205,1. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 12. Bestimme die obere Grenze U des 99-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

x̄ = 205,1σ = 12n = 1699%

U =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Bestimme das Bestimmtheitsmaß r² der Regressionsgeraden.

n = 6

r² =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 75 voraus?

n = 5ŷ = 75

x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 17,46

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 248/7 = 35,43

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = 20,57² + (−15,43)² + (−21,43)² + 3,571² + (−16,43)² + 15,57² + 13,57² = 1830

Standardabweichung

s = √(1830/6) = 17,46

Antwort

s = 17,46

2.Beschreibende Statistik

Antwort: z = −1

Standardisieren

z = (40 − 50)/10 = −1

Antwort

z = −1

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,7674

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gegenereignis

P(keine Sechs) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Antwort

P = 0,7674

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,3294

Null und ein Ausfall

P(X = 0) = 0,7⁷ = 0,08235

P(X = 1) = 7·0,3·0,7⁶ = 0,2471

Addieren

P = 0,08235 + 0,2471 = 0,3294

Antwort

P = 0,3294

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,7333

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Werte

z₁ = (76 − 100)/15 = −1,6

z₂ = (112 − 100)/15 = 0,8

Fläche dazwischen

P = Φ(0,8) − Φ(−1,6) = 0,7881 − 0,0548 = 0,7333

Antwort

P = 0,7333

6.Normalverteilung

Antwort: x = 187 cm

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links

Φ(z) = 0,9

z aus der Tabelle

z ≈ 1,28

Zurück zu den ursprünglichen Einheiten

x = 178 + 1,28·7 = 187 cm

Antwort

x = 187 cm

7.Konfidenzintervalle

Antwort: obere Grenze = 90,64

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Kritischer Wert

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Fehlermarge

E = 1,782·18,5/√13 = 9,143

Intervall

81,5 ± 9,143 → [72,36, 90,64]

Antwort

obere Grenze = 90,64

8.Konfidenzintervalle

Antwort: σ = 12,78 µm

Intervall für eine Varianz: (n − 1)s²/σ² ist χ²-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden. Das 95-%-Intervall für σ² reicht von (n − 1)s² geteilt durch den oberen χ²-Wert (2,5 % darüber) bis (n − 1)s² geteilt durch den unteren χ²-Wert (2,5 % darunter); das Intervall für σ ist die Wurzel beider Grenzen. Es ist nicht symmetrisch um s.

Quadratsumme

(n − 1)s² = 9·7² = 441

Grenzen für σ²

441/19,023 = 23,18

441/2,7 = 163,3

Grenze für σ

σ = √163,3 = 12,78 µm

Antwort

σ = 12,78 µm

95-%-Intervall für σ: [4,815, 12,78] µm.

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = −2,396

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolte Varianz

s_p² = (4·8² + 6·11²)/10 = 98,2

s_p = 9,91

Standardfehler

SE = 9,91·√(1/5 + 1/7) = 5,802

Teststatistik

t = (20 − 33,9)/5,802 = −2,396

Antwort

t = −2,396

Bei df = 10 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,228; |t| ist größer, also wird H₀ verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: U = 212,8

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Fehlermarge

E = 2,576·12/√16 = 7,728

Intervallgrenze

U = 205,1 + 7,728 = 212,8

Antwort

U = 212,8

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r² = 0,988

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 416/6 = 69,33

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 248

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 889,3

Bestimmtheitsmaß

r² = 248²/(70·889,3) = 0,988

Antwort

r² = 0,988

Etwa 98,8 % der Streuung von y werden durch die Gerade erklärt.

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 18,89

Mittelwerte

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 357/5 = 71,4

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162

Regressionsgerade

b = 162/40 = 4,05

a = 71,4 − 4,05·18 = −1,5

ŷ = −1,5 + 4,05·x

Nach x auflösen

x = (75 − (−1,5))/4,05 = 18,89

Antwort

x = 18,89

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