Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 30, 50, 11, 49, 32.

n = 5

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 60. Welcher Anteil P der Werte liegt unter 380?

μ = 500σ = 60x = 380

P =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Ein fairer Würfel wird 5-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, mindestens eine Sechs zu würfeln?

n = 5

P =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

Ein Spiel kostet €2 Einsatz. Du gewinnst €6 mit der Wahrscheinlichkeit 0,15 und €100 mit der Wahrscheinlichkeit 0,02; sonst gewinnst du nichts. Der Einsatz wird nicht zurückgegeben. Bestimme den erwarteten Nettogewinn E(G) pro Spiel.

Einsatz = €2€6: p = 0,15€100: p = 0,02

E(G) = €

5.NormalverteilungMittel

Die Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit dem Mittelwert 65 Punkte und der Standardabweichung 10 Punkte. Welcher Anteil liegt zwischen 50,5 und 77 Punkte? Gib P als Dezimalzahl an.

μ = 65σ = 10x₁ = 50,5x₂ = 77

P =

6.NormalverteilungSchwer

Die Gewichte von Beuteln sind normalverteilt mit dem Mittelwert 250 g und der Standardabweichung 5 g. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten unteren 20 % links davon liegen. Bestimme die Grenze x.

μ = 250 gσ = 5 g20%

x = g

7.KonfidenzintervalleMittel

Die Akkulaufzeit zweier Handymodelle wird verglichen. Modell 1: 100 Handys, Mittelwert 65,5 h, bekannte Standardabweichung 12 h. Modell 2: 50 Handys, Mittelwert 64 h, bekannte Standardabweichung 20 h. Bestimme die untere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 65,5 hσ₁ = 12 hn₂ = 50x̄₂ = 64 hσ₂ = 20 h90%

untere Grenze = h

8.KonfidenzintervalleSchwer

Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 6 Parzellen, mittlerer Ertrag 72 kg, Standardabweichung 7 kg. Parzellengruppe 2: 6 Parzellen, Mittelwert 75 kg, Standardabweichung 6,5 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die obere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 72s₁ = 7n₂ = 6x̄₂ = 75s₂ = 6,590%t(10) = 1,812

obere Grenze = kg

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 16 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 52,4 und eine Stichproben-Standardabweichung von 8. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 52,4s = 8n = 16

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Ein einseitiger z-Test bei α = 0,01 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 3 Einheiten mit einer Teststärke von 90 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 11. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.

α = 0,01Teststärke = 90%δ = 3σ = 11z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Last in kN und y = Verlängerung in mm. Bestimme das Bestimmtheitsmaß r² der Regressionsgeraden.

n = 5

r² =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Sage ŷ für x = 4,5 voraus.

n = 6x = 4,5

ŷ =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 16,04

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 172/5 = 34,4

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = (−4,4)² + 15,6² + (−23,4)² + 14,6² + (−2,4)² = 1029

Standardabweichung

s = √(1029/4) = 16,04

Antwort

s = 16,04

2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,02275

Standardisieren

z = −2

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Antwort

P = 0,02275

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,5981

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gegenereignis

P(keine Sechs) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Antwort

P = 0,5981

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: E(G) = 0,9 €

Diskrete Zufallsvariablen: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung listet jeden Wert x, den eine Variable annehmen kann, mit seiner Wahrscheinlichkeit p(x) auf; die Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 und summieren sich zu 1. Der Erwartungswert (Mittelwert) ist E(X) = Σx·p(x), der Durchschnitt auf lange Sicht. Die Varianz ist Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², und die Standardabweichung ist σ = √Var(X). Für eine lineare Änderung Y = aX + b gilt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) und σ_Y = |a|·σ_X; das Addieren einer Konstanten ändert die Streuung nicht.

Nettoergebnisse

G: 4 (p = 0,15), 98 (p = 0,02), −2 (p = 0,83)

Erwartungswert

E(G) = 4·0,15 + 98·0,02 − 2·0,83 = 0,9 €

Antwort

E(G) = 0,9 €

Ein positiver Wert bedeutet, dass du im Durchschnitt Geld gewinnst.

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,8114

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Werte

z₁ = (50,5 − 65)/10 = −1,45

z₂ = (77 − 65)/10 = 1,2

Fläche dazwischen

P = Φ(1,2) − Φ(−1,45) = 0,8849 − 0,07353 = 0,8114

Antwort

P = 0,8114

6.Normalverteilung

Antwort: x = 245,8 g

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links

Φ(z) = 0,2

z aus der Tabelle

z ≈ −0,84

Zurück zu den ursprünglichen Einheiten

x = 250 − 0,84·5 = 245,8 g

Antwort

x = 245,8 g

7.Konfidenzintervalle

Antwort: untere Grenze = −3,554 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Punktschätzer

x̄₁ − x̄₂ = 65,5 − 64 = 1,5

Standardfehler

SE = √(12²/100 + 20²/50) = 3,072

Fehlermarge

E = 1,645·3,072 = 5,054

Intervall

1,5 ± 5,054 → [−3,554, 6,554]

Antwort

untere Grenze = −3,554 h

Das Intervall enthält die 0, die Daten zeigen also keinen signifikanten Unterschied.

8.Konfidenzintervalle

Antwort: obere Grenze = 4,066 kg

Gepoolte Standardabweichung

s_p² = (5·7² + 5·6,5²)/10 = 45,63

s_p = 6,755

Fehlermarge

E = 1,812·6,755·√(1/6 + 1/6) = 7,066

Intervall

−3 ± 7,066 → [−10,07, 4,066]

Antwort

obere Grenze = 4,066 kg

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = 1,2

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Standardfehler

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

Teststatistik

t = (52,4 − 50)/2 = 1,2

Antwort

t = 1,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: n = 176

Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.

Nach n auflösen

n = ((2,326 + 1,282)·11/3)² = 175

Aufrunden

n = 176

Antwort

n = 176

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r² = 0,9812

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 118/5 = 23,6

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 138

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 485,2

Bestimmtheitsmaß

r² = 138²/(40·485,2) = 0,9812

Antwort

r² = 0,9812

Etwa 98,12 % der Streuung von y werden durch die Gerade erklärt.

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: ŷ = 49

Mittelwerte

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 294/6 = 49

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 71

Regressionsgerade

b = 71/17,5 = 4,057

a = 49 − 4,057·4,5 = 30,74

ŷ = 30,74 + 4,057·x

Vorhersage

ŷ = 30,74 + 4,057·4,5 = 49

Antwort

ŷ = 49

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