Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 37, 21, 21, 56, 44, 41.

n = 6

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 8. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 43,6.

μ = 50σ = 8x = 43,6

z =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Auf wie viele Arten N kann ein Ausschuss von 2 Personen aus einer Gruppe von 10 gewählt werden? Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

n = 10k = 2

N =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

X hat die gezeigte Verteilung, und Y = −2X + 1. Bestimme die Standardabweichung σ_Y von Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,3, 0,3, 0,2Y = −2X + 1

σ_Y =

5.NormalverteilungMittel

Ziehe z so, dass die schattierte Fläche unter der Standardnormalverteilung rechts von z gleich 0,8944 ist. Bestimme z auf zwei Nachkommastellen.

A = 0,8944

z =

6.NormalverteilungSchwer

Die Lebensdauern von Batterien sind normalverteilt mit dem Mittelwert 500 h und der Standardabweichung 40 h. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten oberen 70 % rechts davon liegen. Bestimme die Grenze x.

μ = 500 hσ = 40 h70%

x = h

7.KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 25 Elementen hat den Mittelwert 112 und die Standardabweichung s = 7. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die Fehlermarge E eines 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

n = 25x̄ = 112s = 790%t(24) = 1,711

E =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 31. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 90-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 4 hat?

σ = 31E = 490%

n =

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Der Mittelwert einer Grundgesamtheit soll 500 betragen; die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist bekanntermaßen 15. Eine Zufallsstichprobe von 25 Beobachtungen hat den Mittelwert 502,94. Teste H₀: μ = 500 gegen H₁: μ > 500. Bestimme den p-Wert p.

μ₀ = 500σ = 15n = 25x̄ = 502,94H₁: μ > μ₀

p =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

In einer Studie erholen sich 98 von 150 Patienten unter Behandlung A und 91 von 120 Patienten unter Behandlung B. Bestimme mit dem gepoolten Anteil die Teststatistik z für H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 98n₁ = 150x₂ = 91n₂ = 120

z =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Fahrzeugalter in Jahren und y = Preis in k€. Ihre Summen sind gegeben. Bestimme daraus den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 6Σx = 21Σy = 83Σx² = 91Σy² = 1315Σxy = 237

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Fahrzeugalter in Jahren und y = Preis in k€. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 15 voraus?

n = 6ŷ = 15

x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 13,69

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 220/6 = 36,67

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = 0,3333² + (−15,67)² + (−15,67)² + 19,33² + 7,333² + 4,333² = 937,3

Standardabweichung

s = √(937,3/5) = 13,69

Antwort

s = 13,69

2.Beschreibende Statistik

Antwort: z = −0,8

Standardisieren

z = (43,6 − 50)/8 = −0,8

Antwort

z = −0,8

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: N = 45

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinationen

C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45

Antwort

N = 45

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: σ_Y = 4,099

Diskrete Zufallsvariablen: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung listet jeden Wert x, den eine Variable annehmen kann, mit seiner Wahrscheinlichkeit p(x) auf; die Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 und summieren sich zu 1. Der Erwartungswert (Mittelwert) ist E(X) = Σx·p(x), der Durchschnitt auf lange Sicht. Die Varianz ist Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², und die Standardabweichung ist σ = √Var(X). Für eine lineare Änderung Y = aX + b gilt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) und σ_Y = |a|·σ_X; das Addieren einer Konstanten ändert die Streuung nicht.

Streuung von X

μ = 3, Var(X) = 4,2, σ_X = 2,049

Lineare Änderung

σ_Y = |−2|·2,049 = 4,099

Antwort

σ_Y = 4,099

Der Mittelwert verschiebt sich sehr wohl: E(Y) = −2·3 + 1 = −5.

5.Normalverteilung

Antwort: z = −1,25

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links von z

Φ(z) = 1 − 0,8944 = 0,1056

Die z-Tabelle rückwärts lesen

Finde 0,1056 in der Tabelle und lies z ab.

z = −1,25

Antwort

z = −1,25

6.Normalverteilung

Antwort: x = 479 h

Fläche links

Φ(z) = 0,3

z aus der Tabelle

z ≈ −0,52

Zurück zu den ursprünglichen Einheiten

x = 500 − 0,52·40 = 479 h

Antwort

x = 479 h

7.Konfidenzintervalle

Antwort: E = 2,395

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Kritischer Wert

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Fehlermarge

E = 1,711·7/√25 = 2,395

Antwort

E = 2,395

8.Konfidenzintervalle

Antwort: n = 163

Nach n auflösen

n = (1,645·31/4)² = 162,5

Aufrunden

Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.

n = 163

Antwort

n = 163

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: p = 0,1635

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Teststatistik

SE = σ/√n = 15/√25 = 3

z = (502,94 − 500)/3 = 0,98

Endfläche

Φ(0,98) = 0,8365

1 − Φ(0,98) = 0,1635

p-Wert

p = 0,1635

Antwort

p = 0,1635

p > 0,05, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: z = −1,871

Stichprobenanteile

p̂₁ = 98/150 = 0,6533

p̂₂ = 91/120 = 0,7583

p̂ = 189/270 = 0,7

Standardfehler unter H₀

SE = √(0,7·0,3·(1/150 + 1/120)) = 0,05612

Teststatistik

z = (0,6533 − 0,7583)/0,05612 = −1,871

Antwort

z = −1,871

|z| < 1.96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = −0,9901

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Zentrierte Summen

S_xy = 237 − 21·83/6 = −53,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 1315 − 83²/6 = 166,8

Korrelationskoeffizient

r = −53,5/√(17,5·166,8) = −0,9901

Antwort

r = −0,9901

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 4,229

Mittelwerte

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 98/6 = 16,33

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32

Regressionsgerade

b = −32/17,5 = −1,829

a = 16,33 − (−1,829)·3,5 = 22,73

ŷ = 22,73 − 1,829·x

Nach x auflösen

x = (15 − 22,73)/(−1,829) = 4,229

Antwort

x = 4,229

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