Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 23, 54, 23, 25, 41, 23, 55.

n = 7

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 20. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 90.

μ = 50σ = 20x = 90

z =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Ein fairer Würfel wird 8-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, mindestens eine Sechs zu würfeln?

n = 8

P =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

Ein Test hat 9 Multiple-Choice-Fragen. Eine Studentin, die rät, beantwortet jede unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,6 richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P für genau 5 richtige Antworten?

n = 9p = 0,6k = 5

P =

5.NormalverteilungMittel

Ziehe z so, dass die schattierte Fläche unter der Standardnormalverteilung rechts von z gleich 0,0495 ist. Bestimme z auf zwei Nachkommastellen.

A = 0,0495

z =

6.NormalverteilungSchwer

Die Körpergrößen erwachsener Männer sind normalverteilt mit dem Mittelwert 178 cm und der Standardabweichung 7 cm. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten unteren 70 % links davon liegen. Bestimme die Grenze x.

μ = 178 cmσ = 7 cm70%

x = cm

7.KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 30 Elementen hat den Mittelwert 58,5 und die Standardabweichung s = 8,5. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die Fehlermarge E eines 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

n = 30x̄ = 58,5s = 8,595%t(29) = 2,045

E =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 26. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 90-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 5 hat?

σ = 26E = 590%

n =

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Der Mittelwert einer Grundgesamtheit soll 250 betragen; die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist bekanntermaßen 24. Eine Zufallsstichprobe von 144 Beobachtungen hat den Mittelwert 245,8. Teste H₀: μ = 250 gegen H₁: μ < 250. Bestimme den p-Wert p.

μ₀ = 250σ = 24n = 144x̄ = 245,8H₁: μ < μ₀

p =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Wie groß muss eine Stichprobe sein, damit das 99-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 3 hat? Die Standardabweichung ist 20. Bestimme den kleinsten Stichprobenumfang n.

σ = 20E = 399%

n =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Bestimme den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 91 voraus?

n = 5ŷ = 91

x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 14,88

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 244/7 = 34,86

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = (−11,86)² + 19,14² + (−11,86)² + (−9,857)² + 6,143² + (−11,86)² + 20,14² = 1329

Standardabweichung

s = √(1329/6) = 14,88

Antwort

s = 14,88

2.Beschreibende Statistik

Antwort: z = 2

Standardisieren

z = (90 − 50)/20 = 2

Antwort

z = 2

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,7674

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gegenereignis

P(keine Sechs) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Antwort

P = 0,7674

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,2508

Binomialformel

P(X = 5) = 126·0,6⁵·0,4⁴ = 126·0,07776·0,0256 = 0,2508

Antwort

P = 0,2508

5.Normalverteilung

Antwort: z = 1,65

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links von z

Φ(z) = 1 − 0,0495 = 0,9505

Die z-Tabelle rückwärts lesen

Finde 0,9505 in der Tabelle und lies z ab.

z = 1,65

Antwort

z = 1,65

6.Normalverteilung

Antwort: x = 181,6 cm

Fläche links

Φ(z) = 0,7

z aus der Tabelle

z ≈ 0,52

Zurück zu den ursprünglichen Einheiten

x = 178 + 0,52·7 = 181,6 cm

Antwort

x = 181,6 cm

7.Konfidenzintervalle

Antwort: E = 3,174

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Kritischer Wert

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Fehlermarge

E = 2,045·8,5/√30 = 3,174

Antwort

E = 3,174

8.Konfidenzintervalle

Antwort: n = 74

Nach n auflösen

n = (1,645·26/5)² = 73,17

Aufrunden

Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.

n = 74

Antwort

n = 74

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: p = 0,01786

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Teststatistik

SE = σ/√n = 24/√144 = 2

z = (245,8 − 250)/2 = −2,1

Endfläche

Φ(2,1) = 0,9821

1 − Φ(2,1) = 0,0179

p-Wert

p = 0,01786

Antwort

p = 0,01786

p ≤ 0,05, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: n = 295

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Nach n auflösen

n = (2,576·20/3)² = 294,9

Aufrunden

n = 295

Antwort

n = 295

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = 0,9655

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 371/5 = 74,2

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 210

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1183

Korrelationskoeffizient

r = 210/√(40·1183) = 0,9655

Antwort

r = 0,9655

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 28,51

Mittelwerte

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 358/5 = 71,6

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 387

Regressionsgerade

b = 387/90 = 4,3

a = 71,6 − 4,3·24 = −31,6

ŷ = −31,6 + 4,3·x

Nach x auflösen

x = (91 − (−31,6))/4,3 = 28,51

Antwort

x = 28,51

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1