Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 47, 55, 55, 22, 27, 54, 29.

n = 7

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 170 und Standardabweichung 8. Welcher Anteil P der Werte liegt über 162?

μ = 170σ = 8x = 162

P =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Auf wie viele Arten N kann ein Ausschuss von 3 Personen aus einer Gruppe von 14 gewählt werden? Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

n = 14k = 3

N =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

Ein Test hat 9 Multiple-Choice-Fragen. Eine Studentin, die rät, beantwortet jede unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,2 richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P für genau 5 richtige Antworten?

n = 9p = 0,2k = 5

P =

5.NormalverteilungMittel

Ziehe z so, dass die schattierte Fläche zwischen −z und z unter der Standardnormalverteilung gleich 0,5346 ist. Bestimme z auf zwei Nachkommastellen.

A = 0,5346

z =

6.NormalverteilungSchwer

Bohrungsdurchmesser D sind normalverteilt mit dem Mittelwert 25,02 mm und der Standardabweichung 0,015 mm. Wellendurchmesser d sind unabhängig und normalverteilt mit dem Mittelwert 25 mm und der Standardabweichung 0,015 mm. Eine zufällig gewählte Welle passt, wenn D − d > 0 ist. Bestimme die Wahrscheinlichkeit P, dass sie passt. Runde z auf zwei Dezimalstellen.

Bohrung: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmWelle: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 7 Elementen hat den Mittelwert 14,5 und die Standardabweichung s = 1,5. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die Fehlermarge E eines 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

n = 7x̄ = 14,5s = 1,590%t(6) = 1,943

E =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Eine Vorstudie legt nahe, dass etwa 0,15 der Produkte fehlerhaft sind. Wie viele Produkte n müssen geprüft werden, damit ein 99-%-Konfidenzintervall für den Anteil eine Fehlermarge von höchstens 0,01 hat?

p ≈ 0,15E = 0,0199%

n =

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

10 Mitarbeitende machen vor und nach einem Schulungskurs einen Schreibtest. Für jede Person wird die Differenz d = nachher − vorher (Wörter pro Minute) erfasst. Die mittlere Differenz beträgt 1,19 und die Standardabweichung der Differenzen 2,9. Bestimme die Teststatistik t des verbundenen Tests für H₀: μ_d = 0.

n = 10d̄ = 1,19s_d = 2,9

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

In einer Studie erholen sich 30 von 200 Patienten unter Behandlung A und 14 von 120 Patienten unter Behandlung B. Bestimme mit dem gepoolten Anteil die Teststatistik z für H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 30n₁ = 200x₂ = 14n₂ = 120

z =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Ihre Summen sind gegeben. Bestimme daraus den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 5Σx = 35Σy = 253Σx² = 285Σy² = 13495Σxy = 1935

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Eine neue Beobachtung (3,5, 36) wird gemacht. Bestimme ihr Residuum e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 36)

e =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 14,71

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 289/7 = 41,29

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = 5,714² + 13,71² + 13,71² + (−19,29)² + (−14,29)² + 12,71² + (−12,29)² = 1297

Standardabweichung

s = √(1297/6) = 14,71

Antwort

s = 14,71

2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,8413

Standardisieren

z = −1

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Antwort

P = 0,8413

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: N = 364

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinationen

C(14, 3) = (14·13·12)/(3·2·1) = 364

Antwort

N = 364

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,01652

Binomialformel

P(X = 5) = 126·0,2⁵·0,8⁴ = 126·0,00032·0,4096 = 0,01652

Antwort

P = 0,01652

5.Normalverteilung

Antwort: z = 0,73

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links von z

Φ(z) = (1 + 0,5346)/2 = 0,7673

Die z-Tabelle rückwärts lesen

Finde 0,7673 in der Tabelle und lies z ab.

z = 0,73

Antwort

z = 0,73

6.Normalverteilung

Antwort: P = 0,8264

Summen und Differenzen normalverteilter Variablen: Sind X und Y unabhängig und normalverteilt, sind auch X + Y und X − Y normalverteilt. Die Mittelwerte werden addiert oder subtrahiert: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Die Varianzen addieren sich immer, auch bei einer Differenz: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², also σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standardabweichungen werden nie direkt addiert. Die Summe von n unabhängigen Objekten mit derselben Verteilung hat den Mittelwert n·μ und die Standardabweichung σ·√n. Standardisiere dann wie gewohnt: z = (x − Mittelwert)/σ und lies Φ(z) ab.

Verteilung der Differenz

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02121 mm

Standardisieren

z = (0 − 0,02)/0,02121 = −0,94

Wahrscheinlichkeit

P = 1 − Φ(−0,94) = 0,8264

Antwort

P = 0,8264

7.Konfidenzintervalle

Antwort: E = 1,102

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Kritischer Wert

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Fehlermarge

E = 1,943·1,5/√7 = 1,102

Antwort

E = 1,102

8.Konfidenzintervalle

Antwort: n = 8461

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Nach n auflösen

n = 2,576²·0,15·0,85/0,01² = 8461

Aufrunden

n = 8461

Antwort

n = 8461

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = 1,298

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Standardfehler der mittleren Differenz

SE = 2,9/√10 = 0,9171

Teststatistik

t = 1,19/0,9171 = 1,298

Antwort

t = 1,298

Bei df = 9 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,262; |t| ist kleiner, also wird H₀ nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: z = 0,8383

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Stichprobenanteile

p̂₁ = 30/200 = 0,15

p̂₂ = 14/120 = 0,1167

p̂ = 44/320 = 0,1375

Standardfehler unter H₀

SE = √(0,1375·0,8625·(1/200 + 1/120)) = 0,03976

Teststatistik

z = (0,15 − 0,1167)/0,03976 = 0,8383

Antwort

z = 0,8383

|z| < 1.96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = 0,9849

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Zentrierte Summen

S_xy = 1935 − 35·253/5 = 164

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 13495 − 253²/5 = 693,2

Korrelationskoeffizient

r = 164/√(40·693,2) = 0,9849

Antwort

r = 0,9849

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: e = −4

Mittelwerte

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 186/5 = 37,2

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56

Regressionsgerade

b = 56/10 = 5,6

a = 37,2 − 5,6·3 = 20,4

ŷ = 20,4 + 5,6·x

Vorhergesagter Wert

ŷ = 20,4 + 5,6·3,5 = 40

Residuum

e = 36 − 40 = −4

Antwort

e = −4

Der Punkt liegt unter der Geraden.

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