Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 19, 60, 18, 14, 35.

n = 5

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 10. Welcher Anteil P der Werte liegt unter 38?

μ = 50σ = 10x = 38

P =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Ein fairer Würfel wird 8-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, mindestens eine Sechs zu würfeln?

n = 8

P =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

Ein Test hat 12 Multiple-Choice-Fragen. Eine Studentin, die rät, beantwortet jede unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,2 richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P für genau 5 richtige Antworten?

n = 12p = 0,2k = 5

P =

5.NormalverteilungMittel

Ziehe z so, dass die schattierte Fläche unter der Standardnormalverteilung rechts von z gleich 0,2296 ist. Bestimme z auf zwei Nachkommastellen.

A = 0,2296

z =

6.NormalverteilungSchwer

Die Körpergrößen erwachsener Männer sind normalverteilt mit dem Mittelwert 178 cm und der Standardabweichung 7 cm. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten unteren 90 % links davon liegen. Bestimme die Grenze x.

μ = 178 cmσ = 7 cm90%

x = cm

7.KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 10 Elementen hat den Mittelwert 75,5 und die Standardabweichung s = 8. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die Fehlermarge E eines 99-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

n = 10x̄ = 75,5s = 899%t(9) = 3,25

E =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 15. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 99-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 2,5 hat?

σ = 15E = 2,599%

n =

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Zwei Fertigungslinien stellen dasselbe Teil her. Linie 1: Eine Stichprobe von 40 Teilen hat die mittlere Länge 101 mm, und die bekannte Standardabweichung der Linie ist 5 mm. Linie 2: Eine Stichprobe von 50 Teilen hat den Mittelwert 99 mm, bekannte Standardabweichung 15 mm. Bestimme die Teststatistik z für H₀: μ₁ = μ₂, mit der Differenz x̄₁ − x̄₂ (Linie 1 minus Linie 2).

n₁ = 40x̄₁ = 101 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 50x̄₂ = 99 mmσ₂ = 15 mm

z =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Ein einseitiger z-Test von H₀: μ = 100 gegen H₁: μ > 100 wird bei α = 0,05 mit einer Stichprobe von 25 durchgeführt; die Standardabweichung ist bekanntermaßen 10. In Wirklichkeit beträgt der Mittelwert 102,4. Bestimme die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art β in Prozent.

μ₀ = 100μ = 102,4σ = 10n = 25α = 0,05

β = %

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Bestimme den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Fahrzeugalter in Jahren und y = Preis in k€. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Sage ŷ für x = 3,5 voraus.

n = 5x = 3,5

ŷ =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 18,99

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 146/5 = 29,2

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = (−10,2)² + 30,8² + (−11,2)² + (−15,2)² + 5,8² = 1443

Standardabweichung

s = √(1443/4) = 18,99

Antwort

s = 18,99

2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,1151

Standardisieren

z = −1,2

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Antwort

P = 0,1151

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,7674

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gegenereignis

P(keine Sechs) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Antwort

P = 0,7674

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,05315

Binomialformel

P(X = 5) = 792·0,2⁵·0,8⁷ = 792·0,00032·0,2097 = 0,05315

Antwort

P = 0,05315

5.Normalverteilung

Antwort: z = 0,74

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links von z

Φ(z) = 1 − 0,2296 = 0,7704

Die z-Tabelle rückwärts lesen

Finde 0,7704 in der Tabelle und lies z ab.

z = 0,74

Antwort

z = 0,74

6.Normalverteilung

Antwort: x = 187 cm

Fläche links

Φ(z) = 0,9

z aus der Tabelle

z ≈ 1,28

Zurück zu den ursprünglichen Einheiten

x = 178 + 1,28·7 = 187 cm

Antwort

x = 187 cm

7.Konfidenzintervalle

Antwort: E = 8,222

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Kritischer Wert

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Fehlermarge

E = 3,25·8/√10 = 8,222

Antwort

E = 8,222

8.Konfidenzintervalle

Antwort: n = 239

Nach n auflösen

n = (2,576·15/2,5)² = 238,9

Aufrunden

Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.

n = 239

Antwort

n = 239

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: z = 0,8835

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standardfehler der Differenz

SE = √(5²/40 + 15²/50) = √5,125 = 2,264

Teststatistik

z = (101 − 99)/2,264 = 0,8835

Antwort

z = 0,8835

|z| < 1.96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: β = 67,18 %

Teststärke: Die Teststärke 1 − β ist die Wahrscheinlichkeit, H₀ zu verwerfen, wenn sie falsch ist. Bestimme die Grenze x̄c aus μ₀ und z_α und berechne dann mit dem wahren Mittelwert die Wahrscheinlichkeit, jenseits von x̄c zu landen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritischer Stichprobenmittelwert

SE = 10/√25 = 2

x̄_c = 100 + 1,645·2 = 103,3

z unter dem wahren Mittelwert

z = (103,3 − 102,4)/2 = 0,445

Fehler 2. Art

Teststärke = P(Z > 0,445) = 32,82%

β = 100% − 32,82% = 67,18%

Antwort

β = 67,18%

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = 0,9317

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 176/5 = 35,2

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 50,8

Korrelationskoeffizient

r = 42/√(40·50,8) = 0,9317

Antwort

r = 0,9317

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: ŷ = 18,65

Mittelwerte

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 100/5 = 20

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

Regressionsgerade

b = −27/10 = −2,7

a = 20 − (−2,7)·3 = 28,1

ŷ = 28,1 − 2,7·x

Vorhersage

ŷ = 28,1 + (−2,7)·3,5 = 18,65

Antwort

ŷ = 18,65

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1