Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 57, 42, 13, 24, 39.

n = 5

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 12. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 104,8.

μ = 100σ = 12x = 104,8

z =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Bestimme für die gezeigte Verteilung die Standardabweichung σ von X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

X hat die gezeigte Verteilung, und Y = −2X + 20. Bestimme die Standardabweichung σ_Y von Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,35, 0,15, 0,35Y = −2X + 20

σ_Y =

5.NormalverteilungMittel

Die Lieferzeiten sind normalverteilt mit dem Mittelwert 32 min und der Standardabweichung 6 min. Welcher Anteil liegt zwischen 23,3 und 44,3 min? Gib P als Dezimalzahl an.

μ = 32σ = 6x₁ = 23,3x₂ = 44,3

P =

6.NormalverteilungSchwer

Die IQ-Werte sind normalverteilt mit dem Mittelwert 100 Punkte und der Standardabweichung 15 Punkte. Bestimme den Wert x, unter dem 90 % von ihnen liegen (das 90. Perzentil).

μ = 100σ = 15P = 90%

x = Punkte

7.KonfidenzintervalleMittel

Der Blutdruck von 13 Patienten wird vor und nach einer Behandlung gemessen. Die Differenzen d = vorher − nachher (mmHg) haben den Mittelwert −6,6 und die Standardabweichung 7,4. Bestimme die untere Grenze des 99-%-Konfidenzintervalls für die mittlere Differenz.

n = 13d̄ = −6,6s_d = 7,499%t(12) = 3,055

untere Grenze = mmHg

8.KonfidenzintervalleSchwer

Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 5 Parzellen, mittlerer Ertrag 37 kg, Standardabweichung 5,5 kg. Parzellengruppe 2: 21 Parzellen, Mittelwert 37,5 kg, Standardabweichung 6 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die obere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 37s₁ = 5,5n₂ = 21x̄₂ = 37,5s₂ = 690%t(24) = 1,711

obere Grenze = kg

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 36 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 98,8 und eine Stichproben-Standardabweichung von 4. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,8s = 4n = 36

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Eine Stichprobe von 25 Messungen hat den Mittelwert 101,8. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 8. Bestimme die untere Grenze L des 99-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

x̄ = 101,8σ = 8n = 2599%

L =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Ihre Summen sind gegeben. Bestimme daraus den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 5Σx = 15Σy = 137Σx² = 55Σy² = 3805Σxy = 429

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 136 voraus?

n = 6ŷ = 136

x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 16,99

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 175/5 = 35

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = 22² + 7² + (−22)² + (−11)² + 4² = 1154

Standardabweichung

s = √(1154/4) = 16,99

Antwort

s = 16,99

2.Beschreibende Statistik

Antwort: z = 0,4

Standardisieren

z = (104,8 − 100)/12 = 0,4

Antwort

z = 0,4

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: σ = 0,8047

Diskrete Zufallsvariablen: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung listet jeden Wert x, den eine Variable annehmen kann, mit seiner Wahrscheinlichkeit p(x) auf; die Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 und summieren sich zu 1. Der Erwartungswert (Mittelwert) ist E(X) = Σx·p(x), der Durchschnitt auf lange Sicht. Die Varianz ist Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², und die Standardabweichung ist σ = √Var(X). Für eine lineare Änderung Y = aX + b gilt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) und σ_Y = |a|·σ_X; das Addieren einer Konstanten ändert die Streuung nicht.

Mittelwert

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Mittelwert der Quadrate

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Varianz

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Antwort

σ = 0,8047

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: σ_Y = 2,2

Streuung von X

μ = 1,7, Var(X) = 1,21, σ_X = 1,1

Lineare Änderung

σ_Y = |−2|·1,1 = 2,2

Antwort

σ_Y = 2,2

Der Mittelwert verschiebt sich sehr wohl: E(Y) = −2·1,7 + 20 = 16,6.

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,9063

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Werte

z₁ = (23,3 − 32)/6 = −1,45

z₂ = (44,3 − 32)/6 = 2,05

Fläche dazwischen

P = Φ(2,05) − Φ(−1,45) = 0,9798 − 0,07353 = 0,9063

Antwort

P = 0,9063

6.Normalverteilung

Antwort: x = 119,2 Punkte

z für das Perzentil

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Zurück zu x

x = 100 + 1,282·15 = 119,22 Punkte

Antwort

x = 119,22 Punkte

7.Konfidenzintervalle

Antwort: untere Grenze = −12,87 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritischer Wert

df = 12, t = 3,055

Fehlermarge

E = 3,055·7,4/√13 = 6,27

Intervall

−6,6 ± 6,27 → [−12,87, −0,3299]

Antwort

untere Grenze = −12,87 mmHg

8.Konfidenzintervalle

Antwort: obere Grenze = 4,54 kg

Gepoolte Standardabweichung

s_p² = (4·5,5² + 20·6²)/24 = 35,04

s_p = 5,92

Fehlermarge

E = 1,711·5,92·√(1/5 + 1/21) = 5,04

Intervall

−0,5 ± 5,04 → [−5,54, 4,54]

Antwort

obere Grenze = 4,54 kg

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = −1,8

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Standardfehler

SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667

Teststatistik

t = (98,8 − 100)/0,6667 = −1,8

Antwort

t = −1,8

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: L = 97,68

Fehlermarge

E = 2,576·8/√25 = 4,122

Intervallgrenze

L = 101,8 − 4,122 = 97,68

Antwort

L = 97,68

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = 0,7955

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Zentrierte Summen

S_xy = 429 − 15·137/5 = 18

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 3805 − 137²/5 = 51,2

Korrelationskoeffizient

r = 18/√(10·51,2) = 0,7955

Antwort

r = 0,7955

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 24,96

Mittelwerte

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 739/6 = 123,2

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 459

Regressionsgerade

b = 459/70 = 6,557

a = 123,2 − 6,557·23 = −27,65

ŷ = −27,65 + 6,557·x

Nach x auflösen

x = (136 − (−27,65))/6,557 = 24,96

Antwort

x = 24,96

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