Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 10, 18, 23, 59, 49, 31, 17.

n = 7

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 50. Welcher Anteil P der Werte liegt über 450?

μ = 500σ = 50x = 450

P =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Auf wie viele Arten N kann ein Ausschuss von 4 Personen aus einer Gruppe von 13 gewählt werden? Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

n = 13k = 4

N =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

Ein Test hat 8 Multiple-Choice-Fragen. Eine Studentin, die rät, beantwortet jede unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,2 richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P für genau 5 richtige Antworten?

n = 8p = 0,2k = 5

P =

5.NormalverteilungMittel

Ziehe z so, dass die schattierte Fläche unter der Standardnormalverteilung rechts von z gleich 0,6985 ist. Bestimme z auf zwei Nachkommastellen.

A = 0,6985

z =

6.NormalverteilungSchwer

Die Lebensdauern von Batterien sind normalverteilt mit dem Mittelwert 500 h und der Standardabweichung 40 h. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten unteren 90 % links davon liegen. Bestimme die Grenze x.

μ = 500 hσ = 40 h90%

x = h

7.KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 25 Elementen hat den Mittelwert 120 und die Standardabweichung s = 13. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die obere Grenze des 99-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

n = 25x̄ = 120s = 1399%t(24) = 2,797

obere Grenze =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 40. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 90-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 1 hat?

σ = 40E = 190%

n =

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Zwei Fertigungslinien stellen dasselbe Teil her. Linie 1: Eine Stichprobe von 30 Teilen hat die mittlere Länge 70 mm, und die bekannte Standardabweichung der Linie ist 8 mm. Linie 2: Eine Stichprobe von 30 Teilen hat den Mittelwert 65,5 mm, bekannte Standardabweichung 17 mm. Bestimme die Teststatistik z für H₀: μ₁ = μ₂, mit der Differenz x̄₁ − x̄₂ (Linie 1 minus Linie 2).

n₁ = 30x̄₁ = 70 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 30x̄₂ = 65,5 mmσ₂ = 17 mm

z =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Wie groß muss eine Stichprobe sein, damit das 95-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 3 hat? Die Standardabweichung ist 5. Bestimme den kleinsten Stichprobenumfang n.

σ = 5E = 395%

n =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Bestimme das Bestimmtheitsmaß r² der Regressionsgeraden.

n = 5

r² =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Last in kN und y = Verlängerung in mm. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 19 voraus?

n = 5ŷ = 19

x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 18,09

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 207/7 = 29,57

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = (−19,57)² + (−11,57)² + (−6,571)² + 29,43² + 19,43² + 1,429² + (−12,57)² = 1964

Standardabweichung

s = √(1964/6) = 18,09

Antwort

s = 18,09

2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,8413

Standardisieren

z = −1

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Antwort

P = 0,8413

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: N = 715

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinationen

C(13, 4) = (13·12·11·10)/(4·3·2·1) = 715

Antwort

N = 715

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,009175

Binomialformel

P(X = 5) = 56·0,2⁵·0,8³ = 56·0,00032·0,512 = 0,009175

Antwort

P = 0,009175

5.Normalverteilung

Antwort: z = −0,52

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links von z

Φ(z) = 1 − 0,6985 = 0,3015

Die z-Tabelle rückwärts lesen

Finde 0,3015 in der Tabelle und lies z ab.

z = −0,52

Antwort

z = −0,52

6.Normalverteilung

Antwort: x = 551 h

Fläche links

Φ(z) = 0,9

z aus der Tabelle

z ≈ 1,28

Zurück zu den ursprünglichen Einheiten

x = 500 + 1,28·40 = 551 h

Antwort

x = 551 h

7.Konfidenzintervalle

Antwort: obere Grenze = 127,3

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Kritischer Wert

df = n − 1 = 24, t = 2,797

Fehlermarge

E = 2,797·13/√25 = 7,272

Intervall

120 ± 7,272 → [112,7, 127,3]

Antwort

obere Grenze = 127,3

8.Konfidenzintervalle

Antwort: n = 4330

Nach n auflösen

n = (1,645·40/1)² = 4330

Aufrunden

Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.

n = 4330

Antwort

n = 4330

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: z = 1,312

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standardfehler der Differenz

SE = √(8²/30 + 17²/30) = √11,77 = 3,43

Teststatistik

z = (70 − 65,5)/3,43 = 1,312

Antwort

z = 1,312

|z| < 1.96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: n = 11

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Nach n auflösen

n = (1,96·5/3)² = 10,67

Aufrunden

n = 11

Antwort

n = 11

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r² = 0,9932

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 320/5 = 64

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 210

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1110

Bestimmtheitsmaß

r² = 210²/(40·1110) = 0,9932

Antwort

r² = 0,9932

Etwa 99,32 % der Streuung von y werden durch die Gerade erklärt.

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 6,846

Mittelwerte

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 84/5 = 16,8

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104

Regressionsgerade

b = 104/40 = 2,6

a = 16,8 − 2,6·6 = 1,2

ŷ = 1,2 + 2,6·x

Nach x auflösen

x = (19 − 1,2)/2,6 = 6,846

Antwort

x = 6,846

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1