Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 36, 29, 32, 20, 20.

n = 5

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 100. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 560.

μ = 500σ = 100x = 560

z =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Ein fairer Würfel wird 6-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, mindestens eine Sechs zu würfeln?

n = 6

P =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

8 Bauteile werden geprüft, und jedes fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,25 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass höchstens eines ausfällt?

n = 8p = 0,25

P =

5.NormalverteilungMittel

Die Körpergrößen erwachsener Männer sind normalverteilt mit dem Mittelwert 178 cm und der Standardabweichung 7 cm. Welcher Anteil liegt zwischen 169,95 und 190,95 cm? Gib P als Dezimalzahl an.

μ = 178σ = 7x₁ = 169,95x₂ = 190,95

P =

6.NormalverteilungSchwer

Die Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit dem Mittelwert 65 Punkte und der Standardabweichung 10 Punkte. Bestimme den Wert x, unter dem 99 % von ihnen liegen (das 99. Perzentil).

μ = 65σ = 10P = 99%

x = Punkte

7.KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 9 Elementen hat den Mittelwert 46,5 und die Standardabweichung s = 9. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die Fehlermarge E eines 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

n = 9x̄ = 46,5s = 990%t(8) = 1,86

E =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 28. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 99-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 5 hat?

σ = 28E = 599%

n =

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 25 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 50,96 und eine Stichproben-Standardabweichung von 4. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 50,96s = 4n = 25

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Eine Stichprobe von 25 Messungen hat den Mittelwert 502,6. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 10. Bestimme die obere Grenze U des 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

x̄ = 502,6σ = 10n = 2590%

U =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Bestimme das Bestimmtheitsmaß r² der Regressionsgeraden.

n = 5

r² =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Last in kN und y = Verlängerung in mm. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Sage ŷ für x = 5 voraus.

n = 6x = 5

ŷ =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 7,197

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 137/5 = 27,4

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = 8,6² + 1,6² + 4,6² + (−7,4)² + (−7,4)² = 207,2

Standardabweichung

s = √(207,2/4) = 7,197

Antwort

s = 7,197

2.Beschreibende Statistik

Antwort: z = 0,6

Standardisieren

z = (560 − 500)/100 = 0,6

Antwort

z = 0,6

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,6651

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gegenereignis

P(keine Sechs) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Antwort

P = 0,6651

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,3671

Null und ein Ausfall

P(X = 0) = 0,75⁸ = 0,1001

P(X = 1) = 8·0,25·0,75⁷ = 0,267

Addieren

P = 0,1001 + 0,267 = 0,3671

Antwort

P = 0,3671

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,8428

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Werte

z₁ = (169,95 − 178)/7 = −1,15

z₂ = (190,95 − 178)/7 = 1,85

Fläche dazwischen

P = Φ(1,85) − Φ(−1,15) = 0,9678 − 0,1251 = 0,8428

Antwort

P = 0,8428

6.Normalverteilung

Antwort: x = 88,26 Punkte

z für das Perzentil

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Zurück zu x

x = 65 + 2,326·10 = 88,26 Punkte

Antwort

x = 88,26 Punkte

7.Konfidenzintervalle

Antwort: E = 5,58

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Kritischer Wert

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Fehlermarge

E = 1,86·9/√9 = 5,58

Antwort

E = 5,58

8.Konfidenzintervalle

Antwort: n = 209

Nach n auflösen

n = (2,576·28/5)² = 208,1

Aufrunden

Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.

n = 209

Antwort

n = 209

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = 1,2

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Standardfehler

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Teststatistik

t = (50,96 − 50)/0,8 = 1,2

Antwort

t = 1,2

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: U = 505,9

Fehlermarge

E = 1,645·10/√25 = 3,29

Intervallgrenze

U = 502,6 + 3,29 = 505,9

Antwort

U = 505,9

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r² = 0,9435

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 222/5 = 44,4

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 44

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 205,2

Bestimmtheitsmaß

r² = 44²/(10·205,2) = 0,9435

Antwort

r² = 0,9435

Etwa 94,35 % der Streuung von y werden durch die Gerade erklärt.

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: ŷ = 17,48

Mittelwerte

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 139/6 = 23,17

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 199

Regressionsgerade

b = 199/70 = 2,843

a = 23,17 − 2,843·7 = 3,267

ŷ = 3,267 + 2,843·x

Vorhersage

ŷ = 3,267 + 2,843·5 = 17,48

Antwort

ŷ = 17,48

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