Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 56, 39, 48, 23, 21, 56.

n = 6

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 12. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 124.

μ = 100σ = 12x = 124

z =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Ein Beutel enthält 7 rote und 3 blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln, ohne die erste zurückzulegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass beide rot sind?

7 / 3

P =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

10 Bauteile werden geprüft, und jedes fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,25 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass höchstens eines ausfällt?

n = 10p = 0,25

P =

5.NormalverteilungMittel

Die Lieferzeiten sind normalverteilt mit dem Mittelwert 32 min und der Standardabweichung 6 min. Welcher Anteil liegt zwischen 30,5 und 44 min? Gib P als Dezimalzahl an.

μ = 32σ = 6x₁ = 30,5x₂ = 44

P =

6.NormalverteilungSchwer

Die Lieferzeiten sind normalverteilt mit dem Mittelwert 32 min und der Standardabweichung 6 min. Bestimme den Wert x, unter dem 90 % von ihnen liegen (das 90. Perzentil).

μ = 32σ = 6P = 90%

x = min

7.KonfidenzintervalleMittel

Ein 90-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert, basierend auf 100 Beobachtungen und bekanntem σ, hat eine Fehlermarge von 7,7. Wie groß ist die Fehlermarge E₂ eines 99-%-Intervalls auf Basis von 200 Beobachtungen?

90%n₁ = 100E₁ = 7,799%n₂ = 200

E₂ =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 38. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 90-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 2,5 hat?

σ = 38E = 2,590%

n =

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 49 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 198,4 und eine Stichproben-Standardabweichung von 5. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 198,4s = 5n = 49

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Ein einseitiger z-Test von H₀: μ = 500 gegen H₁: μ > 500 wird bei α = 0,01 mit einer Stichprobe von 100 durchgeführt; die Standardabweichung ist bekanntermaßen 25. In Wirklichkeit beträgt der Mittelwert 506. Bestimme die Teststärke (Power) 1 − β des Tests in Prozent.

μ₀ = 500μ = 506σ = 25n = 100α = 0,01

1 − β = %

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Bestimme das Bestimmtheitsmaß r² der Regressionsgeraden.

n = 5

r² =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 96 voraus?

n = 5ŷ = 96

x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 15,66

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 243/6 = 40,5

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = 15,5² + (−1,5)² + 7,5² + (−17,5)² + (−19,5)² + 15,5² = 1226

Standardabweichung

s = √(1226/5) = 15,66

Antwort

s = 15,66

2.Beschreibende Statistik

Antwort: z = 2

Standardisieren

z = (124 − 100)/12 = 2

Antwort

z = 2

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,4667

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Erster und zweiter Zug

P = 7/10 · 6/9 = 42/90 = 0,4667

Antwort

P = 0,4667

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,244

Null und ein Ausfall

P(X = 0) = 0,75¹⁰ = 0,05631

P(X = 1) = 10·0,25·0,75⁹ = 0,1877

Addieren

P = 0,05631 + 0,1877 = 0,244

Antwort

P = 0,244

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,576

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Werte

z₁ = (30,5 − 32)/6 = −0,25

z₂ = (44 − 32)/6 = 2

Fläche dazwischen

P = Φ(2) − Φ(−0,25) = 0,9772 − 0,4013 = 0,576

Antwort

P = 0,576

6.Normalverteilung

Antwort: x = 39,69 min

z für das Perzentil

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Zurück zu x

x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min

Antwort

x = 39,69 min

7.Konfidenzintervalle

Antwort: E₂ = 8,526

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhältnis der Fehlermargen

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(100/200) = 1,107

Neue Fehlermarge

E₂ = 7,7·1,107 = 8,526

Antwort

E₂ = 8,526

8.Konfidenzintervalle

Antwort: n = 626

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Nach n auflösen

n = (1,645·38/2,5)² = 625,2

Aufrunden

Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.

n = 626

Antwort

n = 626

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = −2,24

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Standardfehler

SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143

Teststatistik

t = (198,4 − 200)/0,7143 = −2,24

Antwort

t = −2,24

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: 1 − β = 52,95 %

Teststärke: Die Teststärke 1 − β ist die Wahrscheinlichkeit, H₀ zu verwerfen, wenn sie falsch ist. Bestimme die Grenze x̄c aus μ₀ und z_α und berechne dann mit dem wahren Mittelwert die Wahrscheinlichkeit, jenseits von x̄c zu landen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritischer Stichprobenmittelwert

SE = 25/√100 = 2,5

x̄_c = 500 + 2,326·2,5 = 505,8

z unter dem wahren Mittelwert

z = (505,8 − 506)/2,5 = −0,074

Leistung

Teststärke = P(Z > −0,074) = 52,95%

1 − β = 52,95%

Antwort

1 − β = 52,95%

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r² = 0,9886

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 355/5 = 71

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 330

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1224

Bestimmtheitsmaß

r² = 330²/(90·1224) = 0,9886

Antwort

r² = 0,9886

Etwa 98,86 % der Streuung von y werden durch die Gerade erklärt.

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 22

Mittelwerte

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 399/5 = 79,8

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 216

Regressionsgerade

b = 216/40 = 5,4

a = 79,8 − 5,4·19 = −22,8

ŷ = −22,8 + 5,4·x

Nach x auflösen

x = (96 − (−22,8))/5,4 = 22

Antwort

x = 22

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