Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 53, 43, 32, 40, 24.

n = 5

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 15. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 32.

μ = 50σ = 15x = 32

z =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Auf wie viele Arten N kann ein Ausschuss von 4 Personen aus einer Gruppe von 9 gewählt werden? Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

n = 9k = 4

N =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

Ein Test hat 6 Multiple-Choice-Fragen. Eine Studentin, die rät, beantwortet jede unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,3 richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P für genau 3 richtige Antworten?

n = 6p = 0,3k = 3

P =

5.NormalverteilungMittel

Ziehe z so, dass die schattierte Fläche zwischen −z und z unter der Standardnormalverteilung gleich 0,3829 ist. Bestimme z auf zwei Nachkommastellen.

A = 0,3829

z =

6.NormalverteilungSchwer

Die Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit dem Mittelwert 65 Punkte und der Standardabweichung 10 Punkte. Bestimme den Wert x, unter dem 99 % von ihnen liegen (das 99. Perzentil).

μ = 65σ = 10P = 99%

x = Punkte

7.KonfidenzintervalleMittel

Ein 99-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert, basierend auf 64 Beobachtungen und bekanntem σ, hat eine Fehlermarge von 5,6. Wie groß ist die Fehlermarge E₂ eines 90-%-Intervalls auf Basis von 256 Beobachtungen?

99%n₁ = 64E₁ = 5,690%n₂ = 256

E₂ =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 20 Parzellen, mittlerer Ertrag 81 kg, Standardabweichung 2 kg. Parzellengruppe 2: 6 Parzellen, Mittelwert 78 kg, Standardabweichung 4,5 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die untere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 20x̄₁ = 81s₁ = 2n₂ = 6x̄₂ = 78s₂ = 4,590%t(24) = 1,711

untere Grenze = kg

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 100 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 75,96 und eine Stichproben-Standardabweichung von 4. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 75,96s = 4n = 100

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

In einer Studie erholen sich 52 von 80 Patienten unter Behandlung A und 168 von 300 Patienten unter Behandlung B. Bestimme mit dem gepoolten Anteil die Teststatistik z für H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 52n₁ = 80x₂ = 168n₂ = 300

z =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Bestimme den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Sage ŷ für x = 2,5 voraus.

n = 6x = 2,5

ŷ =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 11,01

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 192/5 = 38,4

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = 14,6² + 4,6² + (−6,4)² + 1,6² + (−14,4)² = 485,2

Standardabweichung

s = √(485,2/4) = 11,01

Antwort

s = 11,01

2.Beschreibende Statistik

Antwort: z = −1,2

Standardisieren

z = (32 − 50)/15 = −1,2

Antwort

z = −1,2

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: N = 126

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinationen

C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126

Antwort

N = 126

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,1852

Binomialformel

P(X = 3) = 20·0,3³·0,7³ = 20·0,027·0,343 = 0,1852

Antwort

P = 0,1852

5.Normalverteilung

Antwort: z = 0,5

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links von z

Φ(z) = (1 + 0,3829)/2 = 0,6915

Die z-Tabelle rückwärts lesen

Finde 0,6915 in der Tabelle und lies z ab.

z = 0,50

Antwort

z = 0,50

6.Normalverteilung

Antwort: x = 88,26 Punkte

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z für das Perzentil

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Zurück zu x

x = 65 + 2,326·10 = 88,26 Punkte

Antwort

x = 88,26 Punkte

7.Konfidenzintervalle

Antwort: E₂ = 1,788

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhältnis der Fehlermargen

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(64/256) = 0,3193

Neue Fehlermarge

E₂ = 5,6·0,3193 = 1,788

Antwort

E₂ = 1,788

8.Konfidenzintervalle

Antwort: untere Grenze = 0,8356 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolte Standardabweichung

s_p² = (19·2² + 5·4,5²)/24 = 7,385

s_p = 2,718

Fehlermarge

E = 1,711·2,718·√(1/20 + 1/6) = 2,164

Intervall

3 ± 2,164 → [0,8356, 5,164]

Antwort

untere Grenze = 0,8356 kg

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = 2,4

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Standardfehler

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Teststatistik

t = (75,96 − 75)/0,4 = 2,4

Antwort

t = 2,4

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: z = 1,449

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Stichprobenanteile

p̂₁ = 52/80 = 0,65

p̂₂ = 168/300 = 0,56

p̂ = 220/380 = 0,5789

Standardfehler unter H₀

SE = √(0,5789·0,4211·(1/80 + 1/300)) = 0,06213

Teststatistik

z = (0,65 − 0,56)/0,06213 = 1,449

Antwort

z = 1,449

|z| < 1.96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = 0,9799

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 394/6 = 65,67

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 103

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 631,3

Korrelationskoeffizient

r = 103/√(17,5·631,3) = 0,9799

Antwort

r = 0,9799

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: ŷ = 36,9

Mittelwerte

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 266/6 = 44,33

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65

Regressionsgerade

b = 65/17,5 = 3,714

a = 44,33 − 3,714·4,5 = 27,62

ŷ = 27,62 + 3,714·x

Vorhersage

ŷ = 27,62 + 3,714·2,5 = 36,9

Antwort

ŷ = 36,9

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