Beschreibende Statistik
- Mittelwert
- x̄ = Σx/n
- Stichproben-Standardabweichung
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- mittlerer Wert der sortierten Daten
- z-Wert
- z = (x − μ)/σ
- Normalverteilung
- 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Einführung in die Statistik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wahrscheinlichkeit
- Gegenereignis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Additionssatz
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Unabhängige Ereignisse
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Bedingte Wahrscheinlichkeit
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomialverteilung
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalverteilung
- z-Wert
- z = (x − μ)/σ
- Unterhalb von x
- P(X < x) = Φ(z)
- Oberhalb von x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Dazwischen
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Perzentil
- x = μ + z·σ
Methode
- Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
- Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
- Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
- Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.
Konfidenzintervalle
- σ bekannt
- x̄ ± z·σ/√n
- σ unbekannt
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritischer z-Wert
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Stichprobenumfang
- n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
- Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
- Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
- Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
- Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
- z-Test für einen Mittelwert
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-Test für einen Mittelwert
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Zweiseitig bei 5%
- H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
- Konfidenzintervall
- x̄ ± z·σ/√n
Methode
- Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
- Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
- Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
- Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
Lineare Regression und Korrelation
- Quadratsummen
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Steigung
- b = Sxy/Sxx
- Achsenabschnitt
- a = ȳ − b·x̄
- Korrelation
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuum
- e = y − ŷ
2Übungsaufgaben
1.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 48, 18, 48, 17, 24, 19, 50.
n = 7
s =
2.Beschreibende StatistikSchwer
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 25. Welcher Anteil P der Werte liegt über 475?
μ = 500σ = 25x = 475
P =
3.WahrscheinlichkeitMittel
Auf wie viele Arten N kann ein Ausschuss von 4 Personen aus einer Gruppe von 6 gewählt werden? Die Reihenfolge spielt keine Rolle.
n = 6k = 4
N =
4.WahrscheinlichkeitSchwer
Ein Test hat 5 Multiple-Choice-Fragen. Eine Studentin, die rät, beantwortet jede unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,3 richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P für genau 2 richtige Antworten?
n = 5p = 0,3k = 2
P =
5.NormalverteilungMittel
Die Gewichte von Beuteln sind normalverteilt mit dem Mittelwert 250 g und der Standardabweichung 5 g. Welcher Anteil liegt zwischen 245,25 und 252,75 g? Gib P als Dezimalzahl an.
μ = 250σ = 5x1 = 245,25x2 = 252,75
P =
6.NormalverteilungSchwer
Die Lebensdauern von Batterien sind normalverteilt mit dem Mittelwert 500 h und der Standardabweichung 40 h. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten oberen 40 % rechts davon liegen. Bestimme die Grenze x.
μ = 500 hσ = 40 h40%
x = h
7.KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 13 Elementen hat den Mittelwert 106 und die Standardabweichung s = 13,5. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die Fehlermarge E eines 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
n = 13x̄ = 106s = 13,595%t(12) = 2,179
E =
8.KonfidenzintervalleSchwer
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 25. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 1,5 hat?
σ = 25E = 1,595%
n =
9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Der Mittelwert einer Grundgesamtheit soll 500 betragen; die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist bekanntermaßen 25. Eine Zufallsstichprobe von 100 Beobachtungen hat den Mittelwert 504,9. Teste H₀: μ = 500 gegen H₁: μ ≠ 500. Bestimme den p-Wert p.
μ₀ = 500σ = 25n = 100x̄ = 504,9H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
In einer Studie erholen sich 65 von 100 Patienten unter Behandlung A und 156 von 300 Patienten unter Behandlung B. Bestimme mit dem gepoolten Anteil die Teststatistik z für H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 65n₁ = 100x₂ = 156n₂ = 300
z =
11.Lineare Regression und KorrelationMittel
Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Fahrzeugalter in Jahren und y = Preis in k€. Ihre Summen sind gegeben. Bestimme daraus den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.
n = 6Σx = 21Σy = 116Σx² = 91Σy² = 2416Σxy = 352
r =
12.Lineare Regression und KorrelationSchwer
Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Eine neue Beobachtung (20,5, 74) wird gemacht. Bestimme ihr Residuum e = y − ŷ.
n = 6(20,5, 74)
e =
3Lösungen
1.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 15,76
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Mittelwert
x̄ = 224/7 = 32
Quadrierte Abweichungen
Σ(x − x̄)² = 16² + (−14)² + 16² + (−15)² + (−8)² + (−13)² + 18² = 1490
Standardabweichung
s = √(1490/6) = 15,76
Antwort
s = 15,76
2.Beschreibende Statistik
Antwort: P = 0,8413
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = −1
Standardnormalverteilungstabelle
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Antwort
P = 0,8413
3.Wahrscheinlichkeit
Antwort: N = 15
Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinationen
C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15
Antwort
N = 15
4.Wahrscheinlichkeit
Antwort: P = 0,3087
Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binomialformel
P(X = 2) = 10·0,32·0,73 = 10·0,09·0,343 = 0,3087
Antwort
P = 0,3087
5.Normalverteilung
Antwort: P = 0,5378
Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.
z-Werte
z₁ = (245,25 − 250)/5 = −0,95
z₂ = (252,75 − 250)/5 = 0,55
Fläche dazwischen
P = Φ(0,55) − Φ(−0,95) = 0,7088 − 0,1711 = 0,5378
Antwort
P = 0,5378
6.Normalverteilung
Antwort: x = 510 h
Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.
Fläche links
Φ(z) = 0,6
z aus der Tabelle
z ≈ 0,25
Zurück zu den ursprünglichen Einheiten
x = 500 + 0,25·40 = 510 h
Antwort
x = 510 h
7.Konfidenzintervalle
Antwort: E = 8,159
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Kritischer Wert
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Fehlermarge
E = 2,179·13,5/√13 = 8,159
Antwort
E = 8,159
8.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 1068
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Nach n auflösen
n = (1,96·25/1,5)² = 1067
Aufrunden
Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.
n = 1068
Antwort
n = 1068
9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: p = 0,05
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Teststatistik
SE = σ/√n = 25/√100 = 2,5
z = (504,9 − 500)/2,5 = 1,96
Endfläche
Φ(1,96) = 0,9750
1 − Φ(1,96) = 0,0250
p-Wert
p = 2·0,0250 = 0,05
Antwort
p = 0,05
p ≤ 0,05, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau verworfen.
10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: z = 2,264
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Stichprobenanteile
p̂₁ = 65/100 = 0,65
p̂₂ = 156/300 = 0,52
p̂ = 221/400 = 0,5525
Standardfehler unter H₀
SE = √(0,5525·0,4475·(1/100 + 1/300)) = 0,05742
Teststatistik
z = (0,65 − 0,52)/0,05742 = 2,264
Antwort
z = 2,264
|z| > 1,96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.
11.Lineare Regression und Korrelation
Antwort: r = −0,9805
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Zentrierte Summen
Sxy = 352 − 21·116/6 = −54
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2416 − 116²/6 = 173,3
Korrelationskoeffizient
r = −54/√(17,5·173,3) = −0,9805
Antwort
r = −0,9805
12.Lineare Regression und Korrelation
Antwort: e = 1,81
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Mittelwerte
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 500/6 = 83,33
Quadrat- und Produktsummen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 585
Regressionsgerade
b = 585/157,5 = 3,714
a = 83,33 − 3,714·23,5 = −3,952
ŷ = −3,952 + 3,714·x
Vorhergesagter Wert
ŷ = −3,952 + 3,714·20,5 = 72,19
Residuum
e = 74 − 72,19 = 1,81
Antwort
e = 1,81
Der Punkt liegt über der Geraden.
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