Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 32, 13, 13, 58, 26, 33.

n = 6

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 60 und Standardabweichung 10. Welcher Anteil P der Werte liegt über 45?

μ = 60σ = 10x = 45

P =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Ein fairer Würfel wird 7-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, mindestens eine Sechs zu würfeln?

n = 7

P =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

8 Bauteile werden geprüft, und jedes fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,3 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass höchstens eines ausfällt?

n = 8p = 0,3

P =

5.NormalverteilungMittel

Ziehe z so, dass die schattierte Fläche zwischen −z und z unter der Standardnormalverteilung gleich 0,7457 ist. Bestimme z auf zwei Nachkommastellen.

A = 0,7457

z =

6.NormalverteilungSchwer

Bohrungsdurchmesser D sind normalverteilt mit dem Mittelwert 25,05 mm und der Standardabweichung 0,015 mm. Wellendurchmesser d sind unabhängig und normalverteilt mit dem Mittelwert 25 mm und der Standardabweichung 0,02 mm. Eine zufällig gewählte Welle passt, wenn D − d > 0 ist. Bestimme die Wahrscheinlichkeit P, dass sie passt. Runde z auf zwei Dezimalstellen.

Bohrung: μ = 25,05 mm, σ = 0,015 mmWelle: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 12 Elementen hat den Mittelwert 31,5 und die Standardabweichung s = 14. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die Fehlermarge E eines 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

n = 12x̄ = 31,5s = 1495%t(11) = 2,201

E =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 36. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 99-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 3 hat?

σ = 36E = 399%

n =

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Zwei Lehrmethoden werden verglichen. Gruppe 1: 11 Studierende, mittlere Punktzahl 25, Standardabweichung 5. Gruppe 2: 6 Studierende, mittlere Punktzahl 34, Standardabweichung 7. Nimm gleiche Varianzen der Grundgesamtheiten an und verwende den gepoolten Zweistichproben-t-Test. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ₁ = μ₂, mit der Differenz x̄₁ − x̄₂ (Gruppe 1 minus Gruppe 2).

n₁ = 11x̄₁ = 25s₁ = 5n₂ = 6x̄₂ = 34s₂ = 7

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Ein einseitiger z-Test bei α = 0,05 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 2 Einheiten mit einer Teststärke von 90 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 16. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.

α = 0,05Teststärke = 90%δ = 2σ = 16z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Bestimme das Bestimmtheitsmaß r² der Regressionsgeraden.

n = 6

r² =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Last in kN und y = Verlängerung in mm. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 37 voraus?

n = 5ŷ = 37

x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 16,65

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 175/6 = 29,17

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = 2,833² + (−16,17)² + (−16,17)² + 28,83² + (−3,167)² + 3,833² = 1387

Standardabweichung

s = √(1387/5) = 16,65

Antwort

s = 16,65

2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,9332

Standardisieren

z = −1,5

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Antwort

P = 0,9332

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,7209

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gegenereignis

P(keine Sechs) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Antwort

P = 0,7209

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,2553

Null und ein Ausfall

P(X = 0) = 0,7⁸ = 0,05765

P(X = 1) = 8·0,3·0,7⁷ = 0,1977

Addieren

P = 0,05765 + 0,1977 = 0,2553

Antwort

P = 0,2553

5.Normalverteilung

Antwort: z = 1,14

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links von z

Φ(z) = (1 + 0,7457)/2 = 0,8729

Die z-Tabelle rückwärts lesen

Finde 0,8729 in der Tabelle und lies z ab.

z = 1,14

Antwort

z = 1,14

6.Normalverteilung

Antwort: P = 0,9772

Summen und Differenzen normalverteilter Variablen: Sind X und Y unabhängig und normalverteilt, sind auch X + Y und X − Y normalverteilt. Die Mittelwerte werden addiert oder subtrahiert: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Die Varianzen addieren sich immer, auch bei einer Differenz: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², also σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standardabweichungen werden nie direkt addiert. Die Summe von n unabhängigen Objekten mit derselben Verteilung hat den Mittelwert n·μ und die Standardabweichung σ·√n. Standardisiere dann wie gewohnt: z = (x − Mittelwert)/σ und lies Φ(z) ab.

Verteilung der Differenz

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm

Standardisieren

z = (0 − 0,05)/0,025 = −2

Wahrscheinlichkeit

P = 1 − Φ(−2) = 0,9772

Antwort

P = 0,9772

7.Konfidenzintervalle

Antwort: E = 8,895

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Kritischer Wert

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Fehlermarge

E = 2,201·14/√12 = 8,895

Antwort

E = 8,895

8.Konfidenzintervalle

Antwort: n = 956

Nach n auflösen

n = (2,576·36/3)² = 955,6

Aufrunden

Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.

n = 956

Antwort

n = 956

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = −3,087

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Gepoolte Varianz

s_p² = (10·5² + 5·7²)/15 = 33

s_p = 5,745

Standardfehler

SE = 5,745·√(1/11 + 1/6) = 2,915

Teststatistik

t = (25 − 34)/2,915 = −3,087

Antwort

t = −3,087

Bei df = 15 ist der zweiseitige kritische 5-%-Wert 2,131; |t| ist größer, also wird H₀ verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: n = 549

Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.

Nach n auflösen

n = ((1,645 + 1,282)·16/2)² = 548,3

Aufrunden

n = 549

Antwort

n = 549

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r² = 0,6923

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 309/6 = 51,5

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 263,5

Bestimmtheitsmaß

r² = 56,5²/(17,5·263,5) = 0,6923

Antwort

r² = 0,6923

Etwa 69,23 % der Streuung von y werden durch die Gerade erklärt.

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 9,091

Mittelwerte

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 117/5 = 23,4

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 176

Regressionsgerade

b = 176/40 = 4,4

a = 23,4 − 4,4·6 = −3

ŷ = −3 + 4,4·x

Nach x auflösen

x = (37 − (−3))/4,4 = 9,091

Antwort

x = 9,091

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