Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 54, 41, 32, 17, 19.

n = 5

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 8. Welcher Anteil P der Werte liegt über 116?

μ = 100σ = 8x = 116

P =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Ein fairer Würfel wird 5-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, mindestens eine Sechs zu würfeln?

n = 5

P =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

Ein Test hat 11 Multiple-Choice-Fragen. Eine Studentin, die rät, beantwortet jede unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,3 richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P für genau 4 richtige Antworten?

n = 11p = 0,3k = 4

P =

5.NormalverteilungMittel

Die Gewichte von Beuteln sind normalverteilt mit dem Mittelwert 250 g und der Standardabweichung 5 g. Welcher Anteil liegt zwischen 244 und 259 g? Gib P als Dezimalzahl an.

μ = 250σ = 5x₁ = 244x₂ = 259

P =

6.NormalverteilungSchwer

Bohrungsdurchmesser D sind normalverteilt mit dem Mittelwert 25,02 mm und der Standardabweichung 0,02 mm. Wellendurchmesser d sind unabhängig und normalverteilt mit dem Mittelwert 25 mm und der Standardabweichung 0,02 mm. Eine zufällig gewählte Welle passt, wenn D − d > 0 ist. Bestimme die Wahrscheinlichkeit P, dass sie passt. Runde z auf zwei Dezimalstellen.

Bohrung: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmWelle: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.KonfidenzintervalleMittel

Der Blutdruck von 10 Patienten wird vor und nach einer Behandlung gemessen. Die Differenzen d = vorher − nachher (mmHg) haben den Mittelwert 1,3 und die Standardabweichung 5,6. Bestimme die Fehlermarge E des 99-%-Konfidenzintervalls für die mittlere Differenz.

n = 10d̄ = 1,3s_d = 5,699%t(9) = 3,25

E = mmHg

8.KonfidenzintervalleSchwer

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 25. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 99-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 2,5 hat?

σ = 25E = 2,599%

n =

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Der Mittelwert einer Grundgesamtheit soll 250 betragen; die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist bekanntermaßen 12. Eine Zufallsstichprobe von 36 Beobachtungen hat den Mittelwert 252,88. Teste H₀: μ = 250 gegen H₁: μ ≠ 250. Bestimme den p-Wert p.

μ₀ = 250σ = 12n = 36x̄ = 252,88H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Ein einseitiger z-Test bei α = 0,05 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 5 Einheiten mit einer Teststärke von 90 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 13. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.

α = 0,05Teststärke = 90%δ = 5σ = 13z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Bestimme den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Last in kN und y = Verlängerung in mm. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 22 voraus?

n = 6ŷ = 22

x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 15,47

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 163/5 = 32,6

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = 21,4² + 8,4² + (−0,6)² + (−15,6)² + (−13,6)² = 957,2

Standardabweichung

s = √(957,2/4) = 15,47

Antwort

s = 15,47

2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,02275

Standardisieren

z = 2

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Antwort

P = 0,02275

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,5981

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gegenereignis

P(keine Sechs) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Antwort

P = 0,5981

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,2201

Binomialformel

P(X = 4) = 330·0,3⁴·0,7⁷ = 330·0,0081·0,08235 = 0,2201

Antwort

P = 0,2201

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,849

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Werte

z₁ = (244 − 250)/5 = −1,2

z₂ = (259 − 250)/5 = 1,8

Fläche dazwischen

P = Φ(1,8) − Φ(−1,2) = 0,9641 − 0,1151 = 0,849

Antwort

P = 0,849

6.Normalverteilung

Antwort: P = 0,7611

Summen und Differenzen normalverteilter Variablen: Sind X und Y unabhängig und normalverteilt, sind auch X + Y und X − Y normalverteilt. Die Mittelwerte werden addiert oder subtrahiert: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Die Varianzen addieren sich immer, auch bei einer Differenz: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², also σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standardabweichungen werden nie direkt addiert. Die Summe von n unabhängigen Objekten mit derselben Verteilung hat den Mittelwert n·μ und die Standardabweichung σ·√n. Standardisiere dann wie gewohnt: z = (x − Mittelwert)/σ und lies Φ(z) ab.

Verteilung der Differenz

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02828 mm

Standardisieren

z = (0 − 0,02)/0,02828 = −0,71

Wahrscheinlichkeit

P = 1 − Φ(−0,71) = 0,7611

Antwort

P = 0,7611

7.Konfidenzintervalle

Antwort: E = 5,755 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritischer Wert

df = 9, t = 3,25

Fehlermarge

E = 3,25·5,6/√10 = 5,755

Antwort

E = 5,755 mmHg

8.Konfidenzintervalle

Antwort: n = 664

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Nach n auflösen

n = (2,576·25/2,5)² = 663,6

Aufrunden

Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.

n = 664

Antwort

n = 664

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: p = 0,1499

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Teststatistik

SE = σ/√n = 12/√36 = 2

z = (252,88 − 250)/2 = 1,44

Endfläche

Φ(1,44) = 0,9251

1 − Φ(1,44) = 0,0749

p-Wert

p = 2·0,0749 = 0,1499

Antwort

p = 0,1499

p > 0,05, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: n = 58

Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.

Nach n auflösen

n = ((1,645 + 1,282)·13/5)² = 57,92

Aufrunden

n = 58

Antwort

n = 58

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = 0,9937

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 354/5 = 70,8

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 200

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1013

Korrelationskoeffizient

r = 200/√(40·1013) = 0,9937

Antwort

r = 0,9937

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 7,501

Mittelwerte

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 125/6 = 20,83

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 163

Regressionsgerade

b = 163/70 = 2,329

a = 20,83 − 2,329·7 = 4,533

ŷ = 4,533 + 2,329·x

Nach x auflösen

x = (22 − 4,533)/2,329 = 7,501

Antwort

x = 7,501

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