Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 18, 57, 51, 40, 36.

n = 5

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 12. Welcher Anteil P der Werte liegt über 55,6?

μ = 70σ = 12x = 55,6

P =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Bestimme für die gezeigte Verteilung die Varianz Var(X) von X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,35, 0,25, 0,25

Var(X) =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

X hat die gezeigte Verteilung, und Y = −2X + 1. Bestimme die Standardabweichung σ_Y von Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,35, 0,1, 0,25Y = −2X + 1

σ_Y =

5.NormalverteilungMittel

Die Lebensdauern von Batterien sind normalverteilt mit dem Mittelwert 500 h und der Standardabweichung 40 h. Welcher Anteil liegt zwischen 468 und 532 h? Gib P als Dezimalzahl an.

μ = 500σ = 40x₁ = 468x₂ = 532

P =

6.NormalverteilungSchwer

Die Lebensdauern von Batterien sind normalverteilt mit dem Mittelwert 500 h und der Standardabweichung 40 h. Bestimme den Wert x, unter dem 90 % von ihnen liegen (das 90. Perzentil).

μ = 500σ = 40P = 90%

x = h

7.KonfidenzintervalleMittel

Die Akkulaufzeit zweier Handymodelle wird verglichen. Modell 1: 100 Handys, Mittelwert 40 h, bekannte Standardabweichung 16 h. Modell 2: 40 Handys, Mittelwert 26,5 h, bekannte Standardabweichung 4 h. Bestimme die untere Grenze des 99-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 40 hσ₁ = 16 hn₂ = 40x̄₂ = 26,5 hσ₂ = 4 h99%

untere Grenze = h

8.KonfidenzintervalleSchwer

Die Durchmesser von 30 gefertigten Wellen haben eine Stichprobenstandardabweichung von 2,6 µm. Bestimme unter der Annahme normalverteilter Durchmesser die obere Grenze σ des 95-%-Konfidenzintervalls für die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Bei df = 29 liegen 2,5 % der χ²-Verteilung unter 16,047 und 2,5 % über 45,722.

n = 30s = 2,6 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Zwei Fertigungslinien stellen dasselbe Teil her. Linie 1: Eine Stichprobe von 40 Teilen hat die mittlere Länge 94,5 mm, und die bekannte Standardabweichung der Linie ist 9 mm. Linie 2: Eine Stichprobe von 30 Teilen hat den Mittelwert 101 mm, bekannte Standardabweichung 16 mm. Bestimme die Teststatistik z für H₀: μ₁ = μ₂, mit der Differenz x̄₁ − x̄₂ (Linie 1 minus Linie 2).

n₁ = 40x̄₁ = 94,5 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 30x̄₂ = 101 mmσ₂ = 16 mm

z =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Ein einseitiger z-Test bei α = 0,05 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 2,5 Einheiten mit einer Teststärke von 80 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 15. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.

α = 0,05Teststärke = 80%δ = 2,5σ = 15z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Fahrzeugalter in Jahren und y = Preis in k€. Bestimme das Bestimmtheitsmaß r² der Regressionsgeraden.

n = 5

r² =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Eine neue Beobachtung (6, 58) wird gemacht. Bestimme ihr Residuum e = y − ŷ.

n = 5(6, 58)

e =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 15,08

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 202/5 = 40,4

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = (−22,4)² + 16,6² + 10,6² + (−0,4)² + (−4,4)² = 909,2

Standardabweichung

s = √(909,2/4) = 15,08

Antwort

s = 15,08

2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,8849

Standardisieren

z = −1,2

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Antwort

P = 0,8849

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: Var(X) = 1,04

Diskrete Zufallsvariablen: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung listet jeden Wert x, den eine Variable annehmen kann, mit seiner Wahrscheinlichkeit p(x) auf; die Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 und summieren sich zu 1. Der Erwartungswert (Mittelwert) ist E(X) = Σx·p(x), der Durchschnitt auf lange Sicht. Die Varianz ist Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², und die Standardabweichung ist σ = √Var(X). Für eine lineare Änderung Y = aX + b gilt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) und σ_Y = |a|·σ_X; das Addieren einer Konstanten ändert die Streuung nicht.

Mittelwert

μ = 0·0,15 + 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,25 = 1,6

Mittelwert der Quadrate

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,25 = 3,6

Varianz

Var(X) = 3,6 − 1,6² = 1,04

Antwort

Var(X) = 1,04

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: σ_Y = 4,578

Streuung von X

μ = 2,6, Var(X) = 5,24, σ_X = 2,289

Lineare Änderung

σ_Y = |−2|·2,289 = 4,578

Antwort

σ_Y = 4,578

Der Mittelwert verschiebt sich sehr wohl: E(Y) = −2·2,6 + 1 = −4,2.

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,5763

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Werte

z₁ = (468 − 500)/40 = −0,8

z₂ = (532 − 500)/40 = 0,8

Fläche dazwischen

P = Φ(0,8) − Φ(−0,8) = 0,7881 − 0,2119 = 0,5763

Antwort

P = 0,5763

6.Normalverteilung

Antwort: x = 551,3 h

z für das Perzentil

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Zurück zu x

x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h

Antwort

x = 551,26 h

7.Konfidenzintervalle

Antwort: untere Grenze = 9,068 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Punktschätzer

x̄₁ − x̄₂ = 40 − 26,5 = 13,5

Standardfehler

SE = √(16²/100 + 4²/40) = 1,72

Fehlermarge

E = 2,576·1,72 = 4,432

Intervall

13,5 ± 4,432 → [9,068, 17,93]

Antwort

untere Grenze = 9,068 h

Das Intervall enthält die 0 nicht, die Mittelwerte unterscheiden sich also signifikant.

8.Konfidenzintervalle

Antwort: σ = 3,495 µm

Intervall für eine Varianz: (n − 1)s²/σ² ist χ²-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden. Das 95-%-Intervall für σ² reicht von (n − 1)s² geteilt durch den oberen χ²-Wert (2,5 % darüber) bis (n − 1)s² geteilt durch den unteren χ²-Wert (2,5 % darunter); das Intervall für σ ist die Wurzel beider Grenzen. Es ist nicht symmetrisch um s.

Quadratsumme

(n − 1)s² = 29·2,6² = 196

Grenzen für σ²

196/45,722 = 4,288

196/16,047 = 12,22

Grenze für σ

σ = √12,22 = 3,495 µm

Antwort

σ = 3,495 µm

95-%-Intervall für σ: [2,071, 3,495] µm.

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: z = −2

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standardfehler der Differenz

SE = √(9²/40 + 16²/30) = √10,56 = 3,249

Teststatistik

z = (94,5 − 101)/3,249 = −2

Antwort

z = −2

|z| > 1,96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: n = 223

Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.

Nach n auflösen

n = ((1,645 + 0,842)·15/2,5)² = 222,7

Aufrunden

n = 223

Antwort

n = 223

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r² = 0,8889

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 97/5 = 19,4

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −8

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 7,2

Bestimmtheitsmaß

r² = −8²/(10·7,2) = 0,8889

Antwort

r² = 0,8889

Etwa 88,89 % der Streuung von y werden durch die Gerade erklärt.

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: e = −4,9

Mittelwerte

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 292/5 = 58,4

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180

Regressionsgerade

b = 180/40 = 4,5

a = 58,4 − 4,5·5 = 35,9

ŷ = 35,9 + 4,5·x

Vorhergesagter Wert

ŷ = 35,9 + 4,5·6 = 62,9

Residuum

e = 58 − 62,9 = −4,9

Antwort

e = −4,9

Der Punkt liegt unter der Geraden.

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