Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 19, 18, 59, 57, 43, 54.

n = 6

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 75. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 462,5.

μ = 500σ = 75x = 462,5

z =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Auf wie viele Arten N kann ein Ausschuss von 2 Personen aus einer Gruppe von 7 gewählt werden? Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

n = 7k = 2

N =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

9 Bauteile werden geprüft, und jedes fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,2 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass höchstens eines ausfällt?

n = 9p = 0,2

P =

5.NormalverteilungMittel

Ziehe z so, dass die schattierte Fläche unter der Standardnormalverteilung rechts von z gleich 0,6950 ist. Bestimme z auf zwei Nachkommastellen.

A = 0,6950

z =

6.NormalverteilungSchwer

Die Gewichte von Beuteln sind normalverteilt mit dem Mittelwert 250 g und der Standardabweichung 5 g. Bestimme den Wert x, unter dem 99 % von ihnen liegen (das 99. Perzentil).

μ = 250σ = 5P = 99%

x = g

7.KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 12 Elementen hat den Mittelwert 31 und die Standardabweichung s = 5,5. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die Fehlermarge E eines 99-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

n = 12x̄ = 31s = 5,599%t(11) = 3,106

E =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 9 Parzellen, mittlerer Ertrag 10,5 kg, Standardabweichung 7 kg. Parzellengruppe 2: 22 Parzellen, Mittelwert 20,5 kg, Standardabweichung 3,5 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die obere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 10,5s₁ = 7n₂ = 22x̄₂ = 20,5s₂ = 3,590%t(29) = 1,699

obere Grenze = kg

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 49 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 121,2 und eine Stichproben-Standardabweichung von 4. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121,2s = 4n = 49

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Eine Stichprobe von 36 Messungen hat den Mittelwert 116,3. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 10. Bestimme die obere Grenze U des 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

x̄ = 116,3σ = 10n = 3690%

U =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Bestimme den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Fahrzeugalter in Jahren und y = Preis in k€. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Eine neue Beobachtung (3,5, 28) wird gemacht. Bestimme ihr Residuum e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 28)

e =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 18,78

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 250/6 = 41,67

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = (−22,67)² + (−23,67)² + 17,33² + 15,33² + 1,333² + 12,33² = 1763

Standardabweichung

s = √(1763/5) = 18,78

Antwort

s = 18,78

2.Beschreibende Statistik

Antwort: z = −0,5

Standardisieren

z = (462,5 − 500)/75 = −0,5

Antwort

z = −0,5

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: N = 21

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinationen

C(7, 2) = (7·6)/(2·1) = 21

Antwort

N = 21

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,4362

Null und ein Ausfall

P(X = 0) = 0,8⁹ = 0,1342

P(X = 1) = 9·0,2·0,8⁸ = 0,302

Addieren

P = 0,1342 + 0,302 = 0,4362

Antwort

P = 0,4362

5.Normalverteilung

Antwort: z = −0,51

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links von z

Φ(z) = 1 − 0,6950 = 0,3050

Die z-Tabelle rückwärts lesen

Finde 0,3050 in der Tabelle und lies z ab.

z = −0,51

Antwort

z = −0,51

6.Normalverteilung

Antwort: x = 261,6 g

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z für das Perzentil

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Zurück zu x

x = 250 + 2,326·5 = 261,63 g

Antwort

x = 261,63 g

7.Konfidenzintervalle

Antwort: E = 4,931

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Kritischer Wert

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Fehlermarge

E = 3,106·5,5/√12 = 4,931

Antwort

E = 4,931

8.Konfidenzintervalle

Antwort: obere Grenze = −6,819 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolte Standardabweichung

s_p² = (8·7² + 21·3,5²)/29 = 22,39

s_p = 4,732

Fehlermarge

E = 1,699·4,732·√(1/9 + 1/22) = 3,181

Intervall

−10 ± 3,181 → [−13,18, −6,819]

Antwort

obere Grenze = −6,819 kg

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = 2,1

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Standardfehler

SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714

Teststatistik

t = (121,2 − 120)/0,5714 = 2,1

Antwort

t = 2,1

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: U = 119

Fehlermarge

E = 1,645·10/√36 = 2,742

Intervallgrenze

U = 116,3 + 2,742 = 119

Antwort

U = 119

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = 0,9959

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 454/5 = 90,8

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 288

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2091

Korrelationskoeffizient

r = 288/√(40·2091) = 0,9959

Antwort

r = 0,9959

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: e = 3,95

Mittelwerte

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 125/5 = 25

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

Regressionsgerade

b = −19/10 = −1,9

a = 25 − (−1,9)·3 = 30,7

ŷ = 30,7 − 1,9·x

Vorhergesagter Wert

ŷ = 30,7 + (−1,9)·3,5 = 24,05

Residuum

e = 28 − 24,05 = 3,95

Antwort

e = 3,95

Der Punkt liegt über der Geraden.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1