Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 11, 49, 13, 41, 41, 21, 37.

n = 7

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 12. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 85,6.

μ = 100σ = 12x = 85,6

z =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Ein fairer Würfel wird 8-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, mindestens eine Sechs zu würfeln?

n = 8

P =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

6 Bauteile werden geprüft, und jedes fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,2 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass höchstens eines ausfällt?

n = 6p = 0,2

P =

5.NormalverteilungMittel

Ziehe z so, dass die schattierte Fläche zwischen −z und z unter der Standardnormalverteilung gleich 0,6680 ist. Bestimme z auf zwei Nachkommastellen.

A = 0,6680

z =

6.NormalverteilungSchwer

Die Lebensdauern von Batterien sind normalverteilt mit dem Mittelwert 500 h und der Standardabweichung 40 h. Bestimme den Wert x, unter dem 75 % von ihnen liegen (das 75. Perzentil).

μ = 500σ = 40P = 75%

x = h

7.KonfidenzintervalleMittel

Der Blutdruck von 9 Patienten wird vor und nach einer Behandlung gemessen. Die Differenzen d = vorher − nachher (mmHg) haben den Mittelwert −3 und die Standardabweichung 5,7. Bestimme die Fehlermarge E des 95-%-Konfidenzintervalls für die mittlere Differenz.

n = 9d̄ = −3s_d = 5,795%t(8) = 2,306

E = mmHg

8.KonfidenzintervalleSchwer

Die Durchmesser von 11 gefertigten Wellen haben eine Stichprobenstandardabweichung von 10,1 µm. Bestimme unter der Annahme normalverteilter Durchmesser die obere Grenze σ des 95-%-Konfidenzintervalls für die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Bei df = 10 liegen 2,5 % der χ²-Verteilung unter 3,247 und 2,5 % über 20,483.

n = 11s = 10,1 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 100 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 495,4 und eine Stichproben-Standardabweichung von 15. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 495,4s = 15n = 100

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

In einer Studie erholen sich 25 von 100 Patienten unter Behandlung A und 114 von 300 Patienten unter Behandlung B. Bestimme mit dem gepoolten Anteil die Teststatistik z für H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 25n₁ = 100x₂ = 114n₂ = 300

z =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Ihre Summen sind gegeben. Bestimme daraus den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 6Σx = 36Σy = 345Σx² = 286Σy² = 20807Σxy = 2329

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Last in kN und y = Verlängerung in mm. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Eine neue Beobachtung (7, 31) wird gemacht. Bestimme ihr Residuum e = y − ŷ.

n = 6(7, 31)

e =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 15,18

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 213/7 = 30,43

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = (−19,43)² + 18,57² + (−17,43)² + 10,57² + 10,57² + (−9,429)² + 6,571² = 1382

Standardabweichung

s = √(1382/6) = 15,18

Antwort

s = 15,18

2.Beschreibende Statistik

Antwort: z = −1,2

Standardisieren

z = (85,6 − 100)/12 = −1,2

Antwort

z = −1,2

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,7674

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gegenereignis

P(keine Sechs) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Antwort

P = 0,7674

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,6554

Null und ein Ausfall

P(X = 0) = 0,8⁶ = 0,2621

P(X = 1) = 6·0,2·0,8⁵ = 0,3932

Addieren

P = 0,2621 + 0,3932 = 0,6554

Antwort

P = 0,6554

5.Normalverteilung

Antwort: z = 0,97

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links von z

Φ(z) = (1 + 0,6680)/2 = 0,8340

Die z-Tabelle rückwärts lesen

Finde 0,8340 in der Tabelle und lies z ab.

z = 0,97

Antwort

z = 0,97

6.Normalverteilung

Antwort: x = 527 h

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z für das Perzentil

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Zurück zu x

x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h

Antwort

x = 526,98 h

7.Konfidenzintervalle

Antwort: E = 4,381 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritischer Wert

df = 8, t = 2,306

Fehlermarge

E = 2,306·5,7/√9 = 4,381

Antwort

E = 4,381 mmHg

8.Konfidenzintervalle

Antwort: σ = 17,72 µm

Intervall für eine Varianz: (n − 1)s²/σ² ist χ²-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden. Das 95-%-Intervall für σ² reicht von (n − 1)s² geteilt durch den oberen χ²-Wert (2,5 % darüber) bis (n − 1)s² geteilt durch den unteren χ²-Wert (2,5 % darunter); das Intervall für σ ist die Wurzel beider Grenzen. Es ist nicht symmetrisch um s.

Quadratsumme

(n − 1)s² = 10·10,1² = 1020

Grenzen für σ²

1020/20,483 = 49,8

1020/3,247 = 314,2

Grenze für σ

σ = √314,2 = 17,72 µm

Antwort

σ = 17,72 µm

95-%-Intervall für σ: [7,057, 17,72] µm.

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = −3,067

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Standardfehler

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Teststatistik

t = (495,4 − 500)/1,5 = −3,067

Antwort

t = −3,067

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: z = −2,364

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Stichprobenanteile

p̂₁ = 25/100 = 0,25

p̂₂ = 114/300 = 0,38

p̂ = 139/400 = 0,3475

Standardfehler unter H₀

SE = √(0,3475·0,6525·(1/100 + 1/300)) = 0,05498

Teststatistik

z = (0,25 − 0,38)/0,05498 = −2,364

Antwort

z = −2,364

|z| > 1,96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = 0,9942

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Zentrierte Summen

S_xy = 2329 − 36·345/6 = 259

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 20807 − 345²/6 = 969,5

Korrelationskoeffizient

r = 259/√(70·969,5) = 0,9942

Antwort

r = 0,9942

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: e = 2,167

Mittelwerte

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 173/6 = 28,83

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 285

Regressionsgerade

b = 285/70 = 4,071

a = 28,83 − 4,071·7 = 0,3333

ŷ = 0,3333 + 4,071·x

Vorhergesagter Wert

ŷ = 0,3333 + 4,071·7 = 28,83

Residuum

e = 31 − 28,83 = 2,167

Antwort

e = 2,167

Der Punkt liegt über der Geraden.

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