Beschreibende Statistik
- Mittelwert
- x̄ = Σx/n
- Stichproben-Standardabweichung
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- mittlerer Wert der sortierten Daten
- z-Wert
- z = (x − μ)/σ
- Normalverteilung
- 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Einführung in die Statistik: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Wahrscheinlichkeit
- Gegenereignis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Additionssatz
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Unabhängige Ereignisse
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Bedingte Wahrscheinlichkeit
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomialverteilung
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalverteilung
- z-Wert
- z = (x − μ)/σ
- Unterhalb von x
- P(X < x) = Φ(z)
- Oberhalb von x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Dazwischen
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Perzentil
- x = μ + z·σ
Methode
- Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
- Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
- Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
- Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.
Konfidenzintervalle
- σ bekannt
- x̄ ± z·σ/√n
- σ unbekannt
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritischer z-Wert
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Stichprobenumfang
- n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
- Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
- Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
- Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
- Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
- z-Test für einen Mittelwert
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-Test für einen Mittelwert
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Zweiseitig bei 5%
- H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
- Konfidenzintervall
- x̄ ± z·σ/√n
Methode
- Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
- Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
- Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
- Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
Lineare Regression und Korrelation
- Quadratsummen
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Steigung
- b = Sxy/Sxx
- Achsenabschnitt
- a = ȳ − b·x̄
- Korrelation
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuum
- e = y − ŷ
2Übungsaufgaben
1.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 51, 18, 38, 10, 36.
n = 5
s =
2.Beschreibende StatistikSchwer
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 20. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 26.
μ = 50σ = 20x = 26
z =
3.WahrscheinlichkeitMittel
Ein Beutel enthält 8 rote und 4 blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln, ohne die erste zurückzulegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass beide rot sind?
8 / 4
P =
4.WahrscheinlichkeitSchwer
11 Bauteile werden geprüft, und jedes fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,3 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass höchstens eines ausfällt?
n = 11p = 0,3
P =
5.NormalverteilungMittel
Ziehe z so, dass die schattierte Fläche zwischen −z und z unter der Standardnormalverteilung gleich 0,9736 ist. Bestimme z auf zwei Nachkommastellen.
A = 0,9736
z =
6.NormalverteilungSchwer
Die Körpergrößen erwachsener Männer sind normalverteilt mit dem Mittelwert 178 cm und der Standardabweichung 7 cm. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten unteren 25 % links davon liegen. Bestimme die Grenze x.
μ = 178 cmσ = 7 cm25%
x = cm
7.KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 10 Elementen hat den Mittelwert 29 und die Standardabweichung s = 15,5. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die Fehlermarge E eines 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
n = 10x̄ = 29s = 15,595%t(9) = 2,262
E =
8.KonfidenzintervalleSchwer
Die Durchmesser von 11 gefertigten Wellen haben eine Stichprobenstandardabweichung von 2,6 µm. Bestimme unter der Annahme normalverteilter Durchmesser die untere Grenze σ des 95-%-Konfidenzintervalls für die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Bei df = 10 liegen 2,5 % der χ²-Verteilung unter 3,247 und 2,5 % über 20,483.
n = 11s = 2,6 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 81 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 122,3 und eine Stichproben-Standardabweichung von 10. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 122,3s = 10n = 81
t =
10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Eine Stichprobe von 49 Messungen hat den Mittelwert 70,5. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 15. Bestimme die untere Grenze L des 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
x̄ = 70,5σ = 15n = 4995%
L =
11.Lineare Regression und KorrelationMittel
Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Ihre Summen sind gegeben. Bestimme daraus den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.
n = 5Σx = 25Σy = 207Σx² = 165Σy² = 9155Σxy = 1187
r =
12.Lineare Regression und KorrelationSchwer
Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Fahrzeugalter in Jahren und y = Preis in k€. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Sage ŷ für x = 3,5 voraus.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Lösungen
1.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 16,46
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Mittelwert
x̄ = 153/5 = 30,6
Quadrierte Abweichungen
Σ(x − x̄)² = 20,4² + (−12,6)² + 7,4² + (−20,6)² + 5,4² = 1083
Standardabweichung
s = √(1083/4) = 16,46
Antwort
s = 16,46
2.Beschreibende Statistik
Antwort: z = −1,2
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = (26 − 50)/20 = −1,2
Antwort
z = −1,2
3.Wahrscheinlichkeit
Antwort: P = 0,4242
Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Erster und zweiter Zug
P = 8/12 · 7/11 = 56/132 = 0,4242
Antwort
P = 0,4242
4.Wahrscheinlichkeit
Antwort: P = 0,113
Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Null und ein Ausfall
P(X = 0) = 0,711 = 0,01977
P(X = 1) = 11·0,3·0,710 = 0,09322
Addieren
P = 0,01977 + 0,09322 = 0,113
Antwort
P = 0,113
5.Normalverteilung
Antwort: z = 2,22
Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.
Fläche links von z
Φ(z) = (1 + 0,9736)/2 = 0,9868
Die z-Tabelle rückwärts lesen
Finde 0,9868 in der Tabelle und lies z ab.
z = 2,22
Antwort
z = 2,22
6.Normalverteilung
Antwort: x = 173,3 cm
Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.
Fläche links
Φ(z) = 0,25
z aus der Tabelle
z ≈ −0,67
Zurück zu den ursprünglichen Einheiten
x = 178 − 0,67·7 = 173,3 cm
Antwort
x = 173,3 cm
7.Konfidenzintervalle
Antwort: E = 11,09
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Kritischer Wert
df = n − 1 = 9, t = 2,262
Fehlermarge
E = 2,262·15,5/√10 = 11,09
Antwort
E = 11,09
8.Konfidenzintervalle
Antwort: σ = 1,817 µm
Intervall für eine Varianz: (n − 1)s²/σ² ist χ²-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden. Das 95-%-Intervall für σ² reicht von (n − 1)s² geteilt durch den oberen χ²-Wert (2,5 % darüber) bis (n − 1)s² geteilt durch den unteren χ²-Wert (2,5 % darunter); das Intervall für σ ist die Wurzel beider Grenzen. Es ist nicht symmetrisch um s.
Quadratsumme
(n − 1)s² = 10·2,6² = 67,6
Grenzen für σ²
67,6/20,483 = 3,3
67,6/3,247 = 20,82
Grenze für σ
σ = √3,3 = 1,817 µm
Antwort
σ = 1,817 µm
95-%-Intervall für σ: [1,817, 4,563] µm.
9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: t = 2,07
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Standardfehler
SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111
Teststatistik
t = (122,3 − 120)/1,111 = 2,07
Antwort
t = 2,07
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.
10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: L = 66,3
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Fehlermarge
E = 1,96·15/√49 = 4,2
Intervallgrenze
L = 70,5 − 4,2 = 66,3
Antwort
L = 66,3
11.Lineare Regression und Korrelation
Antwort: r = 0,9935
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Zentrierte Summen
Sxy = 1187 − 25·207/5 = 152
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 9155 − 207²/5 = 585,2
Korrelationskoeffizient
r = 152/√(40·585,2) = 0,9935
Antwort
r = 0,9935
12.Lineare Regression und Korrelation
Antwort: ŷ = 21,17
Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.
Mittelwerte
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 127/6 = 21,17
Quadrat- und Produktsummen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20,5
Regressionsgerade
b = −20,5/17,5 = −1,171
a = 21,17 − (−1,171)·3,5 = 25,27
ŷ = 25,27 − 1,171·x
Vorhersage
ŷ = 25,27 + (−1,171)·3,5 = 21,17
Antwort
ŷ = 21,17
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