Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 51, 20, 34, 26, 39, 41, 55.

n = 7

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 5. Welcher Anteil P der Werte liegt über 60?

μ = 50σ = 5x = 60

P =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Ein fairer Würfel wird 3-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, mindestens eine Sechs zu würfeln?

n = 3

P =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

9 Bauteile werden geprüft, und jedes fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,25 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass höchstens eines ausfällt?

n = 9p = 0,25

P =

5.NormalverteilungMittel

Die Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit dem Mittelwert 65 Punkte und der Standardabweichung 10 Punkte. Welcher Anteil liegt zwischen 57 und 83,5 Punkte? Gib P als Dezimalzahl an.

μ = 65σ = 10x₁ = 57x₂ = 83,5

P =

6.NormalverteilungSchwer

Die Gewichte von Beuteln sind normalverteilt mit dem Mittelwert 250 g und der Standardabweichung 5 g. Bestimme den Wert x, unter dem 5 % von ihnen liegen (das 5. Perzentil).

μ = 250σ = 5P = 5%

x = g

7.KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 11 Elementen hat den Mittelwert 106,5 und die Standardabweichung s = 18,5. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die obere Grenze des 99-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

n = 11x̄ = 106,5s = 18,599%t(10) = 3,169

obere Grenze =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Zwei Dünger werden getestet. Parzellengruppe 1: 8 Parzellen, mittlerer Ertrag 33,5 kg, Standardabweichung 2,5 kg. Parzellengruppe 2: 9 Parzellen, Mittelwert 36 kg, Standardabweichung 10 kg. Nimm gleiche Varianzen an (gepoolter t-Test, df = n₁ + n₂ − 2). Bestimme die obere Grenze des 95-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 33,5s₁ = 2,5n₂ = 9x̄₂ = 36s₂ = 1095%t(15) = 2,131

obere Grenze = kg

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Zwei Fertigungslinien stellen dasselbe Teil her. Linie 1: Eine Stichprobe von 30 Teilen hat die mittlere Länge 112 mm, und die bekannte Standardabweichung der Linie ist 12 mm. Linie 2: Eine Stichprobe von 80 Teilen hat den Mittelwert 104 mm, bekannte Standardabweichung 15 mm. Bestimme die Teststatistik z für H₀: μ₁ = μ₂, mit der Differenz x̄₁ − x̄₂ (Linie 1 minus Linie 2).

n₁ = 30x̄₁ = 112 mmσ₁ = 12 mmn₂ = 80x̄₂ = 104 mmσ₂ = 15 mm

z =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

In einer Studie erholen sich 60 von 150 Patienten unter Behandlung A und 21 von 80 Patienten unter Behandlung B. Bestimme mit dem gepoolten Anteil die Teststatistik z für H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 150x₂ = 21n₂ = 80

z =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Bestimme das Bestimmtheitsmaß r² der Regressionsgeraden.

n = 6

r² =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Last in kN und y = Verlängerung in mm. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Eine neue Beobachtung (7, 31) wird gemacht. Bestimme ihr Residuum e = y − ŷ.

n = 6(7, 31)

e =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 12,6

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 266/7 = 38

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = 13² + (−18)² + (−4)² + (−12)² + 1² + 3² + 17² = 952

Standardabweichung

s = √(952/6) = 12,6

Antwort

s = 12,6

2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,02275

Standardisieren

z = 2

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Antwort

P = 0,02275

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,4213

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gegenereignis

P(keine Sechs) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Antwort

P = 0,4213

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,3003

Null und ein Ausfall

P(X = 0) = 0,75⁹ = 0,07508

P(X = 1) = 9·0,25·0,75⁸ = 0,2253

Addieren

P = 0,07508 + 0,2253 = 0,3003

Antwort

P = 0,3003

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,756

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Werte

z₁ = (57 − 65)/10 = −0,8

z₂ = (83,5 − 65)/10 = 1,85

Fläche dazwischen

P = Φ(1,85) − Φ(−0,8) = 0,9678 − 0,2119 = 0,756

Antwort

P = 0,756

6.Normalverteilung

Antwort: x = 241,8 g

z für das Perzentil

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Zurück zu x

x = 250 + −1,645·5 = 241,78 g

Antwort

x = 241,78 g

7.Konfidenzintervalle

Antwort: obere Grenze = 124,2

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Kritischer Wert

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Fehlermarge

E = 3,169·18,5/√11 = 17,68

Intervall

106,5 ± 17,68 → [88,82, 124,2]

Antwort

obere Grenze = 124,2

8.Konfidenzintervalle

Antwort: obere Grenze = 5,266 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolte Standardabweichung

s_p² = (7·2,5² + 8·10²)/15 = 56,25

s_p = 7,5

Fehlermarge

E = 2,131·7,5·√(1/8 + 1/9) = 7,766

Intervall

−2,5 ± 7,766 → [−10,27, 5,266]

Antwort

obere Grenze = 5,266 kg

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: z = 2,9

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standardfehler der Differenz

SE = √(12²/30 + 15²/80) = √7,612 = 2,759

Teststatistik

z = (112 − 104)/2,759 = 2,9

Antwort

z = 2,9

|z| > 1,96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: z = 2,079

Stichprobenanteile

p̂₁ = 60/150 = 0,4

p̂₂ = 21/80 = 0,2625

p̂ = 81/230 = 0,3522

Standardfehler unter H₀

SE = √(0,3522·0,6478·(1/150 + 1/80)) = 0,06613

Teststatistik

z = (0,4 − 0,2625)/0,06613 = 2,079

Antwort

z = 2,079

|z| > 1,96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r² = 0,9874

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 664/6 = 110,7

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 915

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 5383

Bestimmtheitsmaß

r² = 915²/(157,5·5383) = 0,9874

Antwort

r² = 0,9874

Etwa 98,74 % der Streuung von y werden durch die Gerade erklärt.

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: e = 4

Mittelwerte

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 162/6 = 27

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 248

Regressionsgerade

b = 248/70 = 3,543

a = 27 − 3,543·7 = 2,2

ŷ = 2,2 + 3,543·x

Vorhergesagter Wert

ŷ = 2,2 + 3,543·7 = 27

Residuum

e = 31 − 27 = 4

Antwort

e = 4

Der Punkt liegt über der Geraden.

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