Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 34, 50, 13, 17, 26.

n = 5

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 10. Welcher Anteil P der Werte liegt über 62,5?

μ = 50σ = 10x = 62,5

P =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Ein Beutel enthält 7 rote und 9 blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln, ohne die erste zurückzulegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass beide rot sind?

7 / 9

P =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

10 Bauteile werden geprüft, und jedes fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,2 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass höchstens eines ausfällt?

n = 10p = 0,2

P =

5.NormalverteilungMittel

Die IQ-Werte sind normalverteilt mit dem Mittelwert 100 Punkte und der Standardabweichung 15 Punkte. Welcher Anteil liegt zwischen 70,75 und 118,75 Punkte? Gib P als Dezimalzahl an.

μ = 100σ = 15x₁ = 70,75x₂ = 118,75

P =

6.NormalverteilungSchwer

Die Lieferzeiten sind normalverteilt mit dem Mittelwert 32 min und der Standardabweichung 6 min. Bestimme den Wert x, unter dem 10 % von ihnen liegen (das 10. Perzentil).

μ = 32σ = 6P = 10%

x = min

7.KonfidenzintervalleMittel

Ein 99-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert, basierend auf 36 Beobachtungen und bekanntem σ, hat eine Fehlermarge von 8,7. Wie groß ist die Fehlermarge E₂, wenn dieselbe Studie stattdessen 72 Beobachtungen verwendet?

99%n₁ = 36E₁ = 8,7n₂ = 72

E₂ =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Die Durchmesser von 30 gefertigten Wellen haben eine Stichprobenstandardabweichung von 7 µm. Bestimme unter der Annahme normalverteilter Durchmesser die untere Grenze σ des 95-%-Konfidenzintervalls für die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Bei df = 29 liegen 2,5 % der χ²-Verteilung unter 16,047 und 2,5 % über 45,722.

n = 30s = 7 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 36 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 76,4 und eine Stichproben-Standardabweichung von 12. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 76,4s = 12n = 36

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Ein einseitiger z-Test bei α = 0,05 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 3 Einheiten mit einer Teststärke von 90 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 24. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.

α = 0,05Teststärke = 90%δ = 3σ = 24z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Bestimme den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 78 voraus?

n = 6ŷ = 78

x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 14,75

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 140/5 = 28

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = 6² + 22² + (−15)² + (−11)² + (−2)² = 870

Standardabweichung

s = √(870/4) = 14,75

Antwort

s = 14,75

2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,1056

Standardisieren

z = 1,25

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Antwort

P = 0,1056

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,175

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Erster und zweiter Zug

P = 7/16 · 6/15 = 42/240 = 0,175

Antwort

P = 0,175

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,3758

Null und ein Ausfall

P(X = 0) = 0,8¹⁰ = 0,1074

P(X = 1) = 10·0,2·0,8⁹ = 0,2684

Addieren

P = 0,1074 + 0,2684 = 0,3758

Antwort

P = 0,3758

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,8688

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Werte

z₁ = (70,75 − 100)/15 = −1,95

z₂ = (118,75 − 100)/15 = 1,25

Fläche dazwischen

P = Φ(1,25) − Φ(−1,95) = 0,8944 − 0,02559 = 0,8688

Antwort

P = 0,8688

6.Normalverteilung

Antwort: x = 24,31 min

z für das Perzentil

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Zurück zu x

x = 32 + −1,282·6 = 24,31 min

Antwort

x = 24,31 min

7.Konfidenzintervalle

Antwort: E₂ = 6,152

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhältnis der Fehlermargen

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(36/72) = 0,7071

Neue Fehlermarge

E₂ = 8,7·0,7071 = 6,152

Antwort

E₂ = 6,152

8.Konfidenzintervalle

Antwort: σ = 5,575 µm

Intervall für eine Varianz: (n − 1)s²/σ² ist χ²-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden. Das 95-%-Intervall für σ² reicht von (n − 1)s² geteilt durch den oberen χ²-Wert (2,5 % darüber) bis (n − 1)s² geteilt durch den unteren χ²-Wert (2,5 % darunter); das Intervall für σ ist die Wurzel beider Grenzen. Es ist nicht symmetrisch um s.

Quadratsumme

(n − 1)s² = 29·7² = 1421

Grenzen für σ²

1421/45,722 = 31,08

1421/16,047 = 88,55

Grenze für σ

σ = √31,08 = 5,575 µm

Antwort

σ = 5,575 µm

95-%-Intervall für σ: [5,575, 9,41] µm.

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = 0,7

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Standardfehler

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Teststatistik

t = (76,4 − 75)/2 = 0,7

Antwort

t = 0,7

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: n = 549

Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.

Nach n auflösen

n = ((1,645 + 1,282)·24/3)² = 548,3

Aufrunden

n = 549

Antwort

n = 549

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = 0,9635

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 382/6 = 63,67

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 99

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 603,3

Korrelationskoeffizient

r = 99/√(17,5·603,3) = 0,9635

Antwort

r = 0,9635

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 5,472

Mittelwerte

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 436/6 = 72,67

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

Regressionsgerade

b = 96/17,5 = 5,486

a = 72,67 − 5,486·4,5 = 47,98

ŷ = 47,98 + 5,486·x

Nach x auflösen

x = (78 − 47,98)/5,486 = 5,472

Antwort

x = 5,472

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1