Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 10, 43, 59, 17, 14.

n = 5

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 60 und Standardabweichung 15. Welcher Anteil P der Werte liegt unter 45?

μ = 60σ = 15x = 45

P =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Auf wie viele Arten N kann ein Ausschuss von 3 Personen aus einer Gruppe von 7 gewählt werden? Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

n = 7k = 3

N =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

Ein Test hat 11 Multiple-Choice-Fragen. Eine Studentin, die rät, beantwortet jede unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,2 richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P für genau 1 richtige Antworten?

n = 11p = 0,2k = 1

P =

5.NormalverteilungMittel

Gegeben sind Zementsäcke; ihre Massen sind unabhängig und normalverteilt mit dem Mittelwert 25 kg und der Standardabweichung 0,5 kg. Bestimme die Wahrscheinlichkeit P, dass die Gesamtmasse von 4 davon unter 101,5 kg liegt. Runde z auf zwei Dezimalstellen.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 4< 101.5 kg

P =

6.NormalverteilungSchwer

Die Lebensdauern von Batterien sind normalverteilt mit dem Mittelwert 500 h und der Standardabweichung 40 h. Ziehe die Grenze so, dass die schattierten oberen 95 % rechts davon liegen. Bestimme die Grenze x.

μ = 500 hσ = 40 h95%

x = h

7.KonfidenzintervalleMittel

Die Akkulaufzeit zweier Handymodelle wird verglichen. Modell 1: 30 Handys, Mittelwert 99,5 h, bekannte Standardabweichung 13 h. Modell 2: 80 Handys, Mittelwert 112,5 h, bekannte Standardabweichung 16 h. Bestimme die untere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 99,5 hσ₁ = 13 hn₂ = 80x̄₂ = 112,5 hσ₂ = 16 h90%

untere Grenze = h

8.KonfidenzintervalleSchwer

Die Durchmesser von 11 gefertigten Wellen haben eine Stichprobenstandardabweichung von 9,3 µm. Bestimme unter der Annahme normalverteilter Durchmesser die obere Grenze σ des 95-%-Konfidenzintervalls für die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Bei df = 10 liegen 2,5 % der χ²-Verteilung unter 3,247 und 2,5 % über 20,483.

n = 11s = 9,3 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Der Mittelwert einer Grundgesamtheit soll 500 betragen; die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist bekanntermaßen 12. Eine Zufallsstichprobe von 144 Beobachtungen hat den Mittelwert 502,16. Teste H₀: μ = 500 gegen H₁: μ > 500. Bestimme den p-Wert p.

μ₀ = 500σ = 12n = 144x̄ = 502,16H₁: μ > μ₀

p =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Ein einseitiger z-Test bei α = 0,01 soll eine Verschiebung des Mittelwerts um 5 Einheiten mit einer Teststärke von 95 % erkennen. Die Standardabweichung beträgt 24. Bestimme den Mindeststichprobenumfang n.

α = 0,01Teststärke = 95%δ = 5σ = 24z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Bestimme den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 6

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Werbeausgaben in k€ und y = Umsatz in k€. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 52 voraus?

n = 5ŷ = 52

x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 21,36

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 143/5 = 28,6

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = (−18,6)² + 14,4² + 30,4² + (−11,6)² + (−14,6)² = 1825

Standardabweichung

s = √(1825/4) = 21,36

Antwort

s = 21,36

2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,1587

Standardisieren

z = −1

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Antwort

P = 0,1587

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: N = 35

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinationen

C(7, 3) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35

Antwort

N = 35

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,2362

Binomialformel

P(X = 1) = 11·0,2¹·0,8¹⁰ = 11·0,2·0,1074 = 0,2362

Antwort

P = 0,2362

5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,9332

Summen und Differenzen normalverteilter Variablen: Sind X und Y unabhängig und normalverteilt, sind auch X + Y und X − Y normalverteilt. Die Mittelwerte werden addiert oder subtrahiert: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Die Varianzen addieren sich immer, auch bei einer Differenz: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², also σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standardabweichungen werden nie direkt addiert. Die Summe von n unabhängigen Objekten mit derselben Verteilung hat den Mittelwert n·μ und die Standardabweichung σ·√n. Standardisiere dann wie gewohnt: z = (x − Mittelwert)/σ und lies Φ(z) ab.

Verteilung der Summe

μ_T = 100 kg, σ_T = 0,5·√4 = 1 kg

Standardisieren

z = (101,5 − 100)/1 = 1,5

Wahrscheinlichkeit

P = Φ(1,5) = 0,9332

Antwort

P = 0,9332

6.Normalverteilung

Antwort: x = 434 h

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links

Φ(z) = 0,05

z aus der Tabelle

z ≈ −1,64

Zurück zu den ursprünglichen Einheiten

x = 500 − 1,64·40 = 434 h

Antwort

x = 434 h

7.Konfidenzintervalle

Antwort: untere Grenze = −17,89 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Punktschätzer

x̄₁ − x̄₂ = 99,5 − 112,5 = −13

Standardfehler

SE = √(13²/30 + 16²/80) = 2,972

Fehlermarge

E = 1,645·2,972 = 4,889

Intervall

−13 ± 4,889 → [−17,89, −8,111]

Antwort

untere Grenze = −17,89 h

Das Intervall enthält die 0 nicht, die Mittelwerte unterscheiden sich also signifikant.

8.Konfidenzintervalle

Antwort: σ = 16,32 µm

Intervall für eine Varianz: (n − 1)s²/σ² ist χ²-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden. Das 95-%-Intervall für σ² reicht von (n − 1)s² geteilt durch den oberen χ²-Wert (2,5 % darüber) bis (n − 1)s² geteilt durch den unteren χ²-Wert (2,5 % darunter); das Intervall für σ ist die Wurzel beider Grenzen. Es ist nicht symmetrisch um s.

Quadratsumme

(n − 1)s² = 10·9,3² = 864,9

Grenzen für σ²

864,9/20,483 = 42,23

864,9/3,247 = 266,4

Grenze für σ

σ = √266,4 = 16,32 µm

Antwort

σ = 16,32 µm

95-%-Intervall für σ: [6,498, 16,32] µm.

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: p = 0,01539

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Teststatistik

SE = σ/√n = 12/√144 = 1

z = (502,16 − 500)/1 = 2,16

Endfläche

Φ(2,16) = 0,9846

1 − Φ(2,16) = 0,0154

p-Wert

p = 0,01539

Antwort

p = 0,01539

p ≤ 0,05, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: n = 364

Stichprobenumfang für einen Test: Um eine wahre Verschiebung δ mit der Teststärke 1 − β in einem einseitigen z-Test zum Niveau α zu erkennen, muss der Standardfehler δ = (z_α + z_β)·σ/√n erfüllen, also n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², aufgerundet.

Nach n auflösen

n = ((2,326 + 1,645)·24/5)² = 363,3

Aufrunden

n = 364

Antwort

n = 364

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = 0,969

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 406/6 = 67,67

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 501

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1697

Korrelationskoeffizient

r = 501/√(157,5·1697) = 0,969

Antwort

r = 0,969

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 3,97

Mittelwerte

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 335/5 = 67

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 198

Regressionsgerade

b = 198/40 = 4,95

a = 67 − 4,95·7 = 32,35

ŷ = 32,35 + 4,95·x

Nach x auflösen

x = (52 − 32,35)/4,95 = 3,97

Antwort

x = 3,97

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