Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert: x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert: z = (x − μ)/σ
Normalverteilung: 68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis: P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalverteilung

z-Wert: z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x: P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Perzentil: x = μ + z·σ

Methode

Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt: x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%: H₀ ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung: b = S_xy/S_xx
Achsenabschnitt: a = ȳ − b·x̄
Korrelation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuum: e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 12, 26, 12, 58, 56, 28, 17.

n = 7

s =

2.Beschreibende StatistikSchwer

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 10. Welcher Anteil P der Werte liegt unter 50?

μ = 70σ = 10x = 50

P =

3.WahrscheinlichkeitMittel

Ein Beutel enthält 7 rote und 6 blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln, ohne die erste zurückzulegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass beide rot sind?

7 / 6

P =

4.WahrscheinlichkeitSchwer

6 Bauteile werden geprüft, und jedes fällt unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,2 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass höchstens eines ausfällt?

n = 6p = 0,2

P =

5.NormalverteilungMittel

Ziehe z so, dass die schattierte Fläche zwischen −z und z unter der Standardnormalverteilung gleich 0,4177 ist. Bestimme z auf zwei Nachkommastellen.

A = 0,4177

z =

6.NormalverteilungSchwer

Die IQ-Werte sind normalverteilt mit dem Mittelwert 100 Punkte und der Standardabweichung 15 Punkte. Bestimme den Wert x, unter dem 5 % von ihnen liegen (das 5. Perzentil).

μ = 100σ = 15P = 5%

x = Punkte

7.KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 30 Elementen hat den Mittelwert 40,5 und die Standardabweichung s = 7,5. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die obere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

n = 30x̄ = 40,5s = 7,590%t(29) = 1,699

obere Grenze =

8.KonfidenzintervalleSchwer

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 20. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 99-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 3 hat?

σ = 20E = 399%

n =

9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel

Eine Stichprobe von 25 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 207,2 und eine Stichproben-Standardabweichung von 15. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 207,2s = 15n = 25

t =

10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer

Eine Stichprobe von 25 Messungen hat den Mittelwert 114,7. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 12. Bestimme die untere Grenze L des 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

x̄ = 114,7σ = 12n = 2595%

L =

11.Lineare Regression und KorrelationMittel

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Bestimme den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 5

r =

12.Lineare Regression und KorrelationSchwer

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Sage ŷ für x = 3,5 voraus.

n = 6x = 3,5

ŷ =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 19,57

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 209/7 = 29,86

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = (−17,86)² + (−3,857)² + (−17,86)² + 28,14² + 26,14² + (−1,857)² + (−12,86)² = 2297

Standardabweichung

s = √(2297/6) = 19,57

Antwort

s = 19,57

2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,02275

Standardisieren

z = −2

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Antwort

P = 0,02275

3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,2692

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Erster und zweiter Zug

P = 7/13 · 6/12 = 42/156 = 0,2692

Antwort

P = 0,2692

4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,6554

Null und ein Ausfall

P(X = 0) = 0,8⁶ = 0,2621

P(X = 1) = 6·0,2·0,8⁵ = 0,3932

Addieren

P = 0,2621 + 0,3932 = 0,6554

Antwort

P = 0,6554

5.Normalverteilung

Antwort: z = 0,55

Von einer Fläche zurück zu z: Φ(z) ist die Fläche links von z. Für eine linke Randfläche A suche in der Tabelle z mit Φ(z) = A. Eine rechte Randfläche A bedeutet Φ(z) = 1 − A. Eine zentrale Fläche A zwischen −z und z lässt (1 − A)/2 auf jedem Rand übrig, also Φ(z) = (1 + A)/2. Für einen Wert x verwende x = μ + zσ.

Fläche links von z

Φ(z) = (1 + 0,4177)/2 = 0,7088

Die z-Tabelle rückwärts lesen

Finde 0,7088 in der Tabelle und lies z ab.

z = 0,55

Antwort

z = 0,55

6.Normalverteilung

Antwort: x = 75,33 Punkte

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z für das Perzentil

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Zurück zu x

x = 100 + −1,645·15 = 75,33 Punkte

Antwort

x = 75,33 Punkte

7.Konfidenzintervalle

Antwort: obere Grenze = 42,83

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Kritischer Wert

df = n − 1 = 29, t = 1,699

Fehlermarge

E = 1,699·7,5/√30 = 2,326

Intervall

40,5 ± 2,326 → [38,17, 42,83]

Antwort

obere Grenze = 42,83

8.Konfidenzintervalle

Antwort: n = 295

Nach n auflösen

n = (2,576·20/3)² = 294,9

Aufrunden

Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.

n = 295

Antwort

n = 295

9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: t = 2,4

Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).

Standardfehler

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

Teststatistik

t = (207,2 − 200)/3 = 2,4

Antwort

t = 2,4

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: L = 110

Fehlermarge

E = 1,96·12/√25 = 4,704

Intervallgrenze

L = 114,7 − 4,704 = 110

Antwort

L = 110

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = 0,9952

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 275/5 = 55

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 73

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 538

Korrelationskoeffizient

r = 73/√(10·538) = 0,9952

Antwort

r = 0,9952

12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: ŷ = 67,5

Mittelwerte

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 466/6 = 77,67

Quadrat- und Produktsummen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 89

Regressionsgerade

b = 89/17,5 = 5,086

a = 77,67 − 5,086·5,5 = 49,7

ŷ = 49,7 + 5,086·x

Vorhersage

ŷ = 49,7 + 5,086·3,5 = 67,5

Antwort

ŷ = 67,5

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