Cálculo I: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Límites

Sustitución directa: prueba primero x = a; 0/0 significa que hay que simplificar
Factorizar y simplificar: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Límites en el infinito: divide entre la mayor potencia de x; con grados iguales se obtiene el cociente de los coeficientes principales
Límite notable: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regla de L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Derivadas

Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′
Regla del cociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regla de la cadena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas habituales: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifica la estructura: suma, producto, cociente o composición.
Aplica la regla de la potencia a cada potencia de x.
Usa la regla del producto, del cociente o de la cadena donde haga falta.
Simplifica y, si se pide, evalúa en el punto.

Optimización

Método: escribe Q(x) con una sola variable, resuelve Q′(x) = 0 y comprueba Q″ o los extremos del intervalo
Máximo: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro cerrado: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Beneficio: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

2Problemas de práctica

1.LímitesMedia

Halla el límite L = lim_x→∞ (4x³ − 6x − 5)/(2x³ + 2x + 9).

f(x) = (4x³ − 6x − 5)/(2x³ + 2x + 9)x → ∞

L =

2.LímitesDifícil

Halla el límite L = lim_x→0 (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x².

f(x) = (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x²x → 0

L =

3.DerivadasMedia

Sea f(x) = x·sin(2x), con x en radianes. Calcula f′(0,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

4.DerivadasDifícil

Sea f(x) = x³ + 4,5x² − 2. Calcula la coordenada x x del máximo local.

f(x) = x³ + 4,5x² − 2

x =

5.OptimizaciónMedia

Una parcela rectangular de 1200 m² se valla por los cuatro lados. El lado de la calle, de longitud x, cuesta 15 € por metro; los otros tres lados cuestan 12 € por metro. Halla la longitud x del lado de la calle que minimiza el coste.

A = 1200 m²€15/m€12/m

x = m

6.OptimizaciónDifícil

Una empresa vende q unidades por semana. El precio al que puede venderlas es p = 70 − 1q euros por unidad, y el coste es C(q) = 100 + 40q euros. Halla la producción semanal q que maximiza el beneficio.

p = 70 − 1qC = 100 + 40q

q = unidades

7.IntegralesMedia

La región bajo y = √(2x) desde x = 0 hasta x = 3 gira alrededor del eje x. Halla el volumen V del sólido (un paraboloide).

y = √(2x)0 ≤ x ≤ 3

V =

8.IntegralesDifícil

Calcula el área A de la región encerrada entre y = 0,5x² e y = 4x.

y = 0,5x²y = 4x

A =

3Disoluciones

1.Límites

Respuesta: L = 2

Límites: prueba primero la sustitución directa. Si da 0/0, simplifica antes: factoriza y cancela el factor común, o multiplica por el conjugado. Cuando x → ∞, divide numerador y denominador entre la mayor potencia de x. Regla de L'Hôpital: si f/g da 0/0 o ∞/∞, entonces lim f/g = lim f′/g′, derivando el numerador y el denominador por separado (no con la regla del cociente).

Divide entre la mayor potencia

(4 + (−6)/x² + (−5)/x³)/(2 + 2/x² + 9/x³)

Haz x → ∞

L = 4/2 = 2

Respuesta

L = 2

Con grados iguales el límite es el cociente de los coeficientes principales.

2.Límites

Respuesta: L = 1,125

Primera aplicación

(1,5·e^1,5x − 1,5)/(2x) → 0/0

Segunda aplicación

2,25·e^1,5x/2

Sustituye x = 0

L = 2,25·1/2 = 1,125

Respuesta

L = 1,125

3.Derivadas

Respuesta: f′(0.5) = 1,382

Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.

Regla del producto y de la cadena

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Sustituir

f′(0,5) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Respuesta

f′(0,5) = 1,382

4.Derivadas

Respuesta: x = −3

Derivada

f′(x) = 3x² + 9x = 3·(x² + 3x)

Resolver f′(x) = 0

x = −3 o x = 0

Cuál es cuál

f″(x) = 6x + 9: negativa en un máximo, positiva en un mínimo.

f″(−3) = −9, f″(0) = 9

x = −3

Respuesta

x = −3

5.Optimización

Respuesta: x = 32,66 m

Optimización: escribe la magnitud que quieres optimizar como función de una sola variable, usando la restricción para eliminar la otra. Iguala la derivada a cero y resuelve. Comprueba que el punto crítico es un máximo o un mínimo (segunda derivada o cambio de signo de la primera) y que está dentro del intervalo permitido; un extremo como una longitud de lado nula no es la respuesta.

Coste en función de x

C(x) = 27x + 28800/x

Igualar la derivada a cero

C″(x) = 57600/x³ > 0, así que es un mínimo.

x = √(28800/27) = 32,66 m

y = 1200/32,66 = 36,74 m

Coste mínimo

C = 27·32,66 + 28800/32,66 = €1764

Respuesta

x = 32,66 m

6.Optimización

Respuesta: q = 15 unidades

Función de beneficio

P(q) = (70 − 1q)·q − (100 + 40q) = −q² + 30q − 100

Igualar la derivada a cero

P″(q) = −2 < 0, así que es un máximo.

q = 30/2 = 15

Precio y beneficio

p = 70 − 1·15 = €55

P = 30·15 − 1·15² − 100 = €125

Respuesta

q = 15

7.Integrales

Respuesta: V = 28,27

Volúmenes de revolución: al girar alrededor del eje x la región bajo y = f(x) desde x = a hasta x = b se obtiene un sólido cuya sección transversal en x es un disco de radio f(x). Sumando los discos se obtiene V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Cuando la región está entre una curva exterior R(x) y una curva interior r(x), cada rebanada es una arandela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleva los radios al cuadrado antes de restarlos.

Método de los discos

V = π∫₀³ 2x dx

Integrar

V = π·2·3²/2 = 28,27

Respuesta

V = 28,27

8.Integrales

Respuesta: A = 42,67

Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.

Puntos de corte

0,5x² = 4x → x = 0, x = 8

Integrar superior menos inferior

A = [2x² − 0,1667x³]₀⁸ = 42,67

Respuesta

A = 42,67

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