Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Halla el límite L = limx→∞ (−2x3 − 3x + 6)/(5x3 + 3x + 2).
Halla el límite L = limx→0 ln(1 + 5x)/sin(x), con x en radianes.
Sea f(x) = x·sin(x), con x en radianes. Calcula f′(1).
Sea f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x − 4. Calcula la coordenada x x del máximo local.
Una lata cilíndrica cerrada (con tapa y fondo) debe contener 500 cm³. El metal utilizado es proporcional a la superficie total. Halla la altura h de la lata que usa menos material.
Una empresa vende q unidades por semana. El precio al que puede venderlas es p = 200 − 0,5q euros por unidad, y el coste es C(q) = 7700 + 25q euros. Halla el precio p que maximiza el beneficio.
La región bajo y = √(2x) desde x = 0 hasta x = 3 gira alrededor del eje x. Halla el volumen V del sólido (un paraboloide).
Calcula I = ∫₀2,5 x²·eˣ dx.
Respuesta: L = −0,4
Límites: prueba primero la sustitución directa. Si da 0/0, simplifica antes: factoriza y cancela el factor común, o multiplica por el conjugado. Cuando x → ∞, divide numerador y denominador entre la mayor potencia de x. Regla de L'Hôpital: si f/g da 0/0 o ∞/∞, entonces lim f/g = lim f′/g′, derivando el numerador y el denominador por separado (no con la regla del cociente).
Con grados iguales el límite es el cociente de los coeficientes principales.
Respuesta: L = 5
Límites: prueba primero la sustitución directa. Si da 0/0, simplifica antes: factoriza y cancela el factor común, o multiplica por el conjugado. Cuando x → ∞, divide numerador y denominador entre la mayor potencia de x. Regla de L'Hôpital: si f/g da 0/0 o ∞/∞, entonces lim f/g = lim f′/g′, derivando el numerador y el denominador por separado (no con la regla del cociente).
Respuesta: f′(1) = 1,382
Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.
Respuesta: x = 3
Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.
f″(x) = 6x − 27: negativa en un máximo, positiva en un mínimo.
Respuesta: h = 8,603 cm
Optimización: escribe la magnitud que quieres optimizar como función de una sola variable, usando la restricción para eliminar la otra. Iguala la derivada a cero y resuelve. Comprueba que el punto crítico es un máximo o un mínimo (segunda derivada o cambio de signo de la primera) y que está dentro del intervalo permitido; un extremo como una longitud de lado nula no es la respuesta.
A″(r) = 4π + 2000/r³ > 0, así que es un mínimo.
La lata cerrada más económica es tan alta como ancha: h = 2r.
Respuesta: p = 112,5 €
Optimización: escribe la magnitud que quieres optimizar como función de una sola variable, usando la restricción para eliminar la otra. Iguala la derivada a cero y resuelve. Comprueba que el punto crítico es un máximo o un mínimo (segunda derivada o cambio de signo de la primera) y que está dentro del intervalo permitido; un extremo como una longitud de lado nula no es la respuesta.
P″(q) = −1 < 0, así que es un máximo.
Respuesta: V = 28,27
Volúmenes de revolución: al girar alrededor del eje x la región bajo y = f(x) desde x = a hasta x = b se obtiene un sólido cuya sección transversal en x es un disco de radio f(x). Sumando los discos se obtiene V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Cuando la región está entre una curva exterior R(x) y una curva interior r(x), cada rebanada es una arandela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleva los radios al cuadrado antes de restarlos.
Respuesta: I = 37,59
Integración por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir de la regla del producto. Elige como u el factor que se simplifica al derivarlo (una potencia de x, o ln x), y como dv el factor que sabes integrar (eˣ, sin x, cos x, o x cuando u = ln x). En una integral definida, evalúa u·v en ambos límites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un factor x² necesita dos vueltas.
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