Cálculo I: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Límites

Sustitución directa: prueba primero x = a; 0/0 significa que hay que simplificar
Factorizar y simplificar: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Límites en el infinito: divide entre la mayor potencia de x; con grados iguales se obtiene el cociente de los coeficientes principales
Límite notable: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regla de L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Derivadas

Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′
Regla del cociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regla de la cadena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas habituales: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifica la estructura: suma, producto, cociente o composición.
Aplica la regla de la potencia a cada potencia de x.
Usa la regla del producto, del cociente o de la cadena donde haga falta.
Simplifica y, si se pide, evalúa en el punto.

Optimización

Método: escribe Q(x) con una sola variable, resuelve Q′(x) = 0 y comprueba Q″ o los extremos del intervalo
Máximo: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro cerrado: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Beneficio: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

2Problemas de práctica

1.LímitesMedia

Halla el límite L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^3x. Da un valor decimal.

f(x) = (1 + 2/x)^3xx → ∞

L =

2.LímitesDifícil

Halla el límite L = lim_x→0 (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x².

f(x) = (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x²x → 0

L =

3.DerivadasMedia

Sea f(x) = x·sin(x), con x en radianes. Calcula f′(1,5).

f(x) = x·sin(x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

4.DerivadasDifícil

Sea f(x) = x³ − 3x + 3. Calcula la coordenada x x del máximo local.

f(x) = x³ − 3x + 3

x =

5.OptimizaciónMedia

Una caja abierta (sin tapa) de base cuadrada debe contener 62500 cm³. Usa el mínimo material posible, es decir, la menor área de la base más los cuatro laterales. Halla la altura h.

V = 62500 cm³

h = cm

6.OptimizaciónDifícil

Una empresa vende q unidades por semana. El precio al que puede venderlas es p = 80 − 2q euros por unidad, y el coste es C(q) = 200 + 10q euros. Halla el beneficio semanal máximo P.

p = 80 − 2qC = 200 + 10q

P = €

7.IntegralesMedia

La región bajo y = x desde x = 0 hasta x = 3 gira alrededor del eje x. Halla el volumen V del sólido (un cono).

y = x0 ≤ x ≤ 3

V =

8.IntegralesDifícil

Calcula el área A de la región entre la parábola y = 4 − x² y el eje x.

y = 4 − x²

A =

3Disoluciones

1.Límites

Respuesta: L = 403,4

Límites: prueba primero la sustitución directa. Si da 0/0, simplifica antes: factoriza y cancela el factor común, o multiplica por el conjugado. Cuando x → ∞, divide numerador y denominador entre la mayor potencia de x. Regla de L'Hôpital: si f/g da 0/0 o ∞/∞, entonces lim f/g = lim f′/g′, derivando el numerador y el denominador por separado (no con la regla del cociente).

Toma el logaritmo

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 + 2/x)

Evalúa

ln(1 + u)/u → 1 cuando u → 0, así que x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·2 = 6

Deshaz el logaritmo

L = e⁶ = 403,4

Respuesta

L = 403,4

2.Límites

Respuesta: L = 0,125

Primera aplicación

(0,5·e^0,5x − 0,5)/(2x) → 0/0

Segunda aplicación

0,25·e^0,5x/2

Sustituye x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Respuesta

L = 0,125

3.Derivadas

Respuesta: f′(1.5) = 1,104

Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.

Regla del producto y de la cadena

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Sustituir

f′(1,5) = 0,9975 + 1,5·0,07074 = 1,104

Respuesta

f′(1,5) = 1,104

4.Derivadas

Respuesta: x = −1

Derivada

f′(x) = 3x² − 3 = 3·(x² − 1)

Resolver f′(x) = 0

x = −1 o x = 1

Cuál es cuál

f″(x) = 6x: negativa en un máximo, positiva en un mínimo.

f″(−1) = −6, f″(1) = 6

x = −1

Respuesta

x = −1

5.Optimización

Respuesta: h = 25 cm

Optimización: escribe la magnitud que quieres optimizar como función de una sola variable, usando la restricción para eliminar la otra. Iguala la derivada a cero y resuelve. Comprueba que el punto crítico es un máximo o un mínimo (segunda derivada o cambio de signo de la primera) y que está dentro del intervalo permitido; un extremo como una longitud de lado nula no es la respuesta.

Área en función de x

S(x) = x² + 250000/x

Igualar la derivada a cero

S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0, así que es un mínimo.

x³ = 125000 → x = 50 cm

Altura y área

h = 62500/50² = 25 cm

S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²

Respuesta

h = 25 cm

La mejor caja abierta tiene la mitad de altura que de anchura.

6.Optimización

Respuesta: P = 412,5 €

Función de beneficio

P(q) = (80 − 2q)·q − (200 + 10q) = −2q² + 70q − 200

Igualar la derivada a cero

P″(q) = −4 < 0, así que es un máximo.

q = 70/4 = 17,5

Precio y beneficio

p = 80 − 2·17,5 = €45

P = 70·17,5 − 2·17,5² − 200 = €412,5

Respuesta

P = €412,5

7.Integrales

Respuesta: V = 28,27

Volúmenes de revolución: al girar alrededor del eje x la región bajo y = f(x) desde x = a hasta x = b se obtiene un sólido cuya sección transversal en x es un disco de radio f(x). Sumando los discos se obtiene V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Cuando la región está entre una curva exterior R(x) y una curva interior r(x), cada rebanada es una arandela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleva los radios al cuadrado antes de restarlos.

Método de los discos

V = π∫₀³ 1x² dx

Integrar

V = π·1·3³/3 = 28,27

Respuesta

V = 28,27

Comprobación: un cono de radio 3 y altura 3 tiene (1/3)πr²h = 28,27.

8.Integrales

Respuesta: A = 10,67

Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.

Ceros

4 − x² = 0 → x = ±2

Integrar

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Respuesta

A = 10,67

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