Cálculo I: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Límites

Sustitución directa: prueba primero x = a; 0/0 significa que hay que simplificar
Factorizar y simplificar: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Límites en el infinito: divide entre la mayor potencia de x; con grados iguales se obtiene el cociente de los coeficientes principales
Límite notable: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regla de L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Derivadas

Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′
Regla del cociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regla de la cadena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas habituales: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifica la estructura: suma, producto, cociente o composición.
Aplica la regla de la potencia a cada potencia de x.
Usa la regla del producto, del cociente o de la cadena donde haga falta.
Simplifica y, si se pide, evalúa en el punto.

Optimización

Método: escribe Q(x) con una sola variable, resuelve Q′(x) = 0 y comprueba Q″ o los extremos del intervalo
Máximo: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro cerrado: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Beneficio: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

2Problemas de práctica

1.LímitesMedia

Halla el límite L = lim_x→∞ (−2x³ − 5)/(5x³ + 5x + 2).

f(x) = (−2x³ − 5)/(5x³ + 5x + 2)x → ∞

L =

2.LímitesDifícil

Halla el límite L = lim_x→0 (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x².

f(x) = (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x²x → 0

L =

3.DerivadasMedia

Sea f(x) = (2x − 3)⁵. Calcula f′(1).

f(x) = (2x − 3)⁵x = 1

f′(1) =

4.DerivadasDifícil

Sea f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2. Calcula la coordenada x x del mínimo local.

f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2

x =

5.OptimizaciónMedia

Una caja abierta (sin tapa) de base cuadrada debe contener 13500 cm³. Usa el mínimo material posible, es decir, la menor área de la base más los cuatro laterales. Halla la superficie mínima S.

V = 13500 cm³

S = cm²

6.OptimizaciónDifícil

Una empresa vende q unidades por semana. El precio al que puede venderlas es p = 130 − 2q euros por unidad, y el coste es C(q) = 100 + 80q euros. Halla el precio p que maximiza el beneficio.

p = 130 − 2qC = 100 + 80q

p = €

7.IntegralesMedia

Calcula I = ∫₂⁴ 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 4]

I =

8.IntegralesDifícil

La región entre la recta y = x y la parábola y = 0,5x² gira alrededor del eje x. Halla el volumen V del sólido.

y = xy = 0,5x²

V =

3Disoluciones

1.Límites

Respuesta: L = −0,4

Límites: prueba primero la sustitución directa. Si da 0/0, simplifica antes: factoriza y cancela el factor común, o multiplica por el conjugado. Cuando x → ∞, divide numerador y denominador entre la mayor potencia de x. Regla de L'Hôpital: si f/g da 0/0 o ∞/∞, entonces lim f/g = lim f′/g′, derivando el numerador y el denominador por separado (no con la regla del cociente).

Divide entre la mayor potencia

(−2 + (−5)/x³)/(5 + 5/x² + 2/x³)

Haz x → ∞

L = −2/5 = −0,4

Respuesta

L = −0,4

Con grados iguales el límite es el cociente de los coeficientes principales.

2.Límites

Respuesta: L = 1,125

Primera aplicación

(1,5·e^1,5x − 1,5)/(2x) → 0/0

Segunda aplicación

2,25·e^1,5x/2

Sustituye x = 0

L = 2,25·1/2 = 1,125

Respuesta

L = 1,125

3.Derivadas

Respuesta: f′(1) = 10

Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.

Regla de la cadena

f′(x) = 5·(2x − 3)⁴·2

Sustituir

f′(1) = 5·(−1)⁴·2 = 10

Respuesta

f′(1) = 10

4.Derivadas

Respuesta: x = 3

Derivada

f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3·(x² − 4x + 3)

Resolver f′(x) = 0

x = 1 o x = 3

Cuál es cuál

f″(x) = 6x − 12: negativa en un máximo, positiva en un mínimo.

f″(1) = −6, f″(3) = 6

x = 3

Respuesta

x = 3

5.Optimización

Respuesta: S = 2700 cm²

Optimización: escribe la magnitud que quieres optimizar como función de una sola variable, usando la restricción para eliminar la otra. Iguala la derivada a cero y resuelve. Comprueba que el punto crítico es un máximo o un mínimo (segunda derivada o cambio de signo de la primera) y que está dentro del intervalo permitido; un extremo como una longitud de lado nula no es la respuesta.

Área en función de x

S(x) = x² + 54000/x

Igualar la derivada a cero

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, así que es un mínimo.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Altura y área

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Respuesta

S = 2700 cm²

La mejor caja abierta tiene la mitad de altura que de anchura.

6.Optimización

Respuesta: p = 105 €

Función de beneficio

P(q) = (130 − 2q)·q − (100 + 80q) = −2q² + 50q − 100

Igualar la derivada a cero

P″(q) = −4 < 0, así que es un máximo.

q = 50/4 = 12,5

Precio y beneficio

p = 130 − 2·12,5 = €105

P = 50·12,5 − 2·12,5² − 100 = €212,5

Respuesta

p = €105

7.Integrales

Respuesta: I = 2,079

Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = 3·ln x

Evaluar en los límites

I = 3·(ln 4 − ln 2) = 3·ln 2 = 2,079

Respuesta

I = 2,079

8.Integrales

Respuesta: V = 3,351

Volúmenes de revolución: al girar alrededor del eje x la región bajo y = f(x) desde x = a hasta x = b se obtiene un sólido cuya sección transversal en x es un disco de radio f(x). Sumando los discos se obtiene V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Cuando la región está entre una curva exterior R(x) y una curva interior r(x), cada rebanada es una arandela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleva los radios al cuadrado antes de restarlos.

Puntos de corte

1x = 0,5x² → x = 0, x = 2

Método de las arandelas

V = π∫₀² ((1x)² − (0,5x²)²) dx

Integrar

V = π(1·2³/3 − 0,25·2⁵/5) = π·1,067 = 3,351

Respuesta

V = 3,351

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