Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Halla el límite L = limx→∞ (1 + 2/x)3x. Da un valor decimal.
Halla el límite L = limx→0 (1 − cos 2x)/(4x²), con x en radianes.
Sea f(x) = x2·e0,5x. Calcula f′(0,5).
Sea f(x) = x3 + 1,5x2 − 6x − 2. Calcula la coordenada x x del mínimo local.
Una lata cilíndrica cerrada (con tapa y fondo) debe contener 330 cm³. El metal utilizado es proporcional a la superficie total. Halla la superficie mínima posible A.
Una pequeña empresa vende su producto a un precio de mercado fijo de 60 € por unidad. Producir q unidades cuesta C(q) = 200 + 40q + 0,2q² euros. Halla la producción q que maximiza el beneficio.
Calcula I = ∫₀π/2 x·sin x dx (x en radianes).
Calcula I = ∫₀3 x²·eˣ dx.
Respuesta: L = 403,4
Límites: prueba primero la sustitución directa. Si da 0/0, simplifica antes: factoriza y cancela el factor común, o multiplica por el conjugado. Cuando x → ∞, divide numerador y denominador entre la mayor potencia de x. Regla de L'Hôpital: si f/g da 0/0 o ∞/∞, entonces lim f/g = lim f′/g′, derivando el numerador y el denominador por separado (no con la regla del cociente).
ln(1 + u)/u → 1 cuando u → 0, así que x·ln(1 + a/x) → a.
Respuesta: L = 0,5
Límites: prueba primero la sustitución directa. Si da 0/0, simplifica antes: factoriza y cancela el factor común, o multiplica por el conjugado. Cuando x → ∞, divide numerador y denominador entre la mayor potencia de x. Regla de L'Hôpital: si f/g da 0/0 o ∞/∞, entonces lim f/g = lim f′/g′, derivando el numerador y el denominador por separado (no con la regla del cociente).
Respuesta: f′(0.5) = 1,445
Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.
Respuesta: x = 1
Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.
f″(x) = 6x + 3: negativa en un máximo, positiva en un mínimo.
Respuesta: A = 264,4 cm²
Optimización: escribe la magnitud que quieres optimizar como función de una sola variable, usando la restricción para eliminar la otra. Iguala la derivada a cero y resuelve. Comprueba que el punto crítico es un máximo o un mínimo (segunda derivada o cambio de signo de la primera) y que está dentro del intervalo permitido; un extremo como una longitud de lado nula no es la respuesta.
A″(r) = 4π + 1320/r³ > 0, así que es un mínimo.
La lata cerrada más económica es tan alta como ancha: h = 2r.
Respuesta: q = 50 unidades
Optimización: escribe la magnitud que quieres optimizar como función de una sola variable, usando la restricción para eliminar la otra. Iguala la derivada a cero y resuelve. Comprueba que el punto crítico es un máximo o un mínimo (segunda derivada o cambio de signo de la primera) y que está dentro del intervalo permitido; un extremo como una longitud de lado nula no es la respuesta.
P″(q) = −0,4 < 0, así que es un máximo.
Respuesta: I = 1
Integración por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir de la regla del producto. Elige como u el factor que se simplifica al derivarlo (una potencia de x, o ln x), y como dv el factor que sabes integrar (eˣ, sin x, cos x, o x cuando u = ln x). En una integral definida, evalúa u·v en ambos límites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un factor x² necesita dos vueltas.
Respuesta: I = 98,43
Integración por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir de la regla del producto. Elige como u el factor que se simplifica al derivarlo (una potencia de x, o ln x), y como dv el factor que sabes integrar (eˣ, sin x, cos x, o x cuando u = ln x). En una integral definida, evalúa u·v en ambos límites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un factor x² necesita dos vueltas.
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