Cálculo I: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Límites

Sustitución directa: prueba primero x = a; 0/0 significa que hay que simplificar
Factorizar y simplificar: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Límites en el infinito: divide entre la mayor potencia de x; con grados iguales se obtiene el cociente de los coeficientes principales
Límite notable: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regla de L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Derivadas

Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′
Regla del cociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regla de la cadena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas habituales: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifica la estructura: suma, producto, cociente o composición.
Aplica la regla de la potencia a cada potencia de x.
Usa la regla del producto, del cociente o de la cadena donde haga falta.
Simplifica y, si se pide, evalúa en el punto.

Optimización

Método: escribe Q(x) con una sola variable, resuelve Q′(x) = 0 y comprueba Q″ o los extremos del intervalo
Máximo: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro cerrado: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Beneficio: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

2Problemas de práctica

1.LímitesMedia

Halla el límite L = lim_x→∞ (−5x² − 5x + 2)/(x² + 5x + 1).

f(x) = (−5x² − 5x + 2)/(x² + 5x + 1)x → ∞

L =

2.LímitesDifícil

Halla el límite L = lim_x→0 (e^−x − 1 + x)/x².

f(x) = (e^−x − 1 + x)/x²x → 0

L =

3.DerivadasMedia

Sea f(x) = x²·e^0,5x. Calcula f′(0,5).

f(x) = x²·e^0,5xx = 0,5

f′(0.5) =

4.DerivadasDifícil

Sea f(x) = x³ − 13,5x² + 54x + 4. Calcula la coordenada x x del máximo local.

f(x) = x³ − 13,5x² + 54x + 4

x =

5.OptimizaciónMedia

Una caja abierta (sin tapa) de base cuadrada debe contener 108000 cm³. Usa el mínimo material posible, es decir, la menor área de la base más los cuatro laterales. Halla la altura h.

V = 108000 cm³

h = cm

6.OptimizaciónDifícil

Una pequeña empresa vende su producto a un precio de mercado fijo de 65 € por unidad. Producir q unidades cuesta C(q) = 400 + 16q + 0,5q² euros. Halla la producción q que maximiza el beneficio.

p = €65C = 400 + 16q + 0,5q²

q = unidades

7.IntegralesMedia

Calcula I = ∫₀¹ e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 1]

I =

8.IntegralesDifícil

La región entre la recta y = 3x y la parábola y = 2x² gira alrededor del eje x. Halla el volumen V del sólido.

y = 3xy = 2x²

V =

3Disoluciones

1.Límites

Respuesta: L = −5

Límites: prueba primero la sustitución directa. Si da 0/0, simplifica antes: factoriza y cancela el factor común, o multiplica por el conjugado. Cuando x → ∞, divide numerador y denominador entre la mayor potencia de x. Regla de L'Hôpital: si f/g da 0/0 o ∞/∞, entonces lim f/g = lim f′/g′, derivando el numerador y el denominador por separado (no con la regla del cociente).

Divide entre la mayor potencia

(−5 + (−5)/x + 2/x²)/(1 + 5/x + 1/x²)

Haz x → ∞

L = −5/1 = −5

Respuesta

L = −5

Con grados iguales el límite es el cociente de los coeficientes principales.

2.Límites

Respuesta: L = 0,5

Primera aplicación

(−1·e^−x + 1)/(2x) → 0/0

Segunda aplicación

1·e^−x/2

Sustituye x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Respuesta

L = 0,5

3.Derivadas

Respuesta: f′(0.5) = 1,445

Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.

Regla del producto

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(2x + 0,5·x²)

Sustituir

f′(0,5) = 1,284·(1 + 0,125) = 1,445

Respuesta

f′(0,5) = 1,445

4.Derivadas

Respuesta: x = 3

Derivada

f′(x) = 3x² − 27x + 54 = 3·(x² − 9x + 18)

Resolver f′(x) = 0

x = 3 o x = 6

Cuál es cuál

f″(x) = 6x − 27: negativa en un máximo, positiva en un mínimo.

f″(3) = −9, f″(6) = 9

x = 3

Respuesta

x = 3

5.Optimización

Respuesta: h = 30 cm

Optimización: escribe la magnitud que quieres optimizar como función de una sola variable, usando la restricción para eliminar la otra. Iguala la derivada a cero y resuelve. Comprueba que el punto crítico es un máximo o un mínimo (segunda derivada o cambio de signo de la primera) y que está dentro del intervalo permitido; un extremo como una longitud de lado nula no es la respuesta.

Área en función de x

S(x) = x² + 432000/x

Igualar la derivada a cero

S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0, así que es un mínimo.

x³ = 216000 → x = 60 cm

Altura y área

h = 108000/60² = 30 cm

S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²

Respuesta

h = 30 cm

La mejor caja abierta tiene la mitad de altura que de anchura.

6.Optimización

Respuesta: q = 49 unidades

Función de beneficio

P(q) = 65q − (400 + 16q + 0,5q²) = −0,5q² + 49q − 400

Igualar la derivada a cero

P″(q) = −1 < 0, así que es un máximo.

49 − 1q = 0 → q = 49

Beneficio máximo

P = 49·49 − 0,5·49² − 400 = €800,5

Respuesta

q = 49

7.Integrales

Respuesta: I = 3,195

Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = e^2x/2

Evaluar en los límites

I = (e² − 1)/2 = (7,389 − 1)/2 = 3,195

Respuesta

I = 3,195

8.Integrales

Respuesta: V = 12,72

Volúmenes de revolución: al girar alrededor del eje x la región bajo y = f(x) desde x = a hasta x = b se obtiene un sólido cuya sección transversal en x es un disco de radio f(x). Sumando los discos se obtiene V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Cuando la región está entre una curva exterior R(x) y una curva interior r(x), cada rebanada es una arandela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleva los radios al cuadrado antes de restarlos.

Puntos de corte

3x = 2x² → x = 0, x = 1,5

Método de las arandelas

V = π∫₀^1,5 ((3x)² − (2x²)²) dx

Integrar

V = π(9·1,5³/3 − 4·1,5⁵/5) = π·4,05 = 12,72

Respuesta

V = 12,72

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