Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Halla el límite L = limx→∞ (1 + 2/x)2x. Da un valor decimal.
Halla el límite L = limx→0 ln(1 + 4x)/sin(3x), con x en radianes.
Sea f(x) = ln(x2 + 1). Calcula f′(2).
La recta tangente a f(x) = 0,5x2 + x + 3 en x = 3 corta el eje y en y = b. Calcula b.
Una caja abierta (sin tapa) de base cuadrada debe contener 32000 cm³. Usa el mínimo material posible, es decir, la menor área de la base más los cuatro laterales. Halla la superficie mínima S.
Un teatro vende 1850 entradas por función a 25 € cada una. Un estudio de mercado indica que cada aumento de 1 € en el precio de la entrada supone 50 entradas vendidas menos (y cada bajada de 1 €, 50 más). Halla el precio de la entrada p que maximiza los ingresos.
Calcula I = ∫210 3/x dx.
Calcula el área A de la región entre la parábola y = 9 − x² y el eje x.
Respuesta: L = 54,6
Límites: prueba primero la sustitución directa. Si da 0/0, simplifica antes: factoriza y cancela el factor común, o multiplica por el conjugado. Cuando x → ∞, divide numerador y denominador entre la mayor potencia de x. Regla de L'Hôpital: si f/g da 0/0 o ∞/∞, entonces lim f/g = lim f′/g′, derivando el numerador y el denominador por separado (no con la regla del cociente).
ln(1 + u)/u → 1 cuando u → 0, así que x·ln(1 + a/x) → a.
Respuesta: L = 1,333
Límites: prueba primero la sustitución directa. Si da 0/0, simplifica antes: factoriza y cancela el factor común, o multiplica por el conjugado. Cuando x → ∞, divide numerador y denominador entre la mayor potencia de x. Regla de L'Hôpital: si f/g da 0/0 o ∞/∞, entonces lim f/g = lim f′/g′, derivando el numerador y el denominador por separado (no con la regla del cociente).
Respuesta: f′(2) = 0,8
Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.
Respuesta: b = −1,5
Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.
Respuesta: S = 4800 cm²
Optimización: escribe la magnitud que quieres optimizar como función de una sola variable, usando la restricción para eliminar la otra. Iguala la derivada a cero y resuelve. Comprueba que el punto crítico es un máximo o un mínimo (segunda derivada o cambio de signo de la primera) y que está dentro del intervalo permitido; un extremo como una longitud de lado nula no es la respuesta.
S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0, así que es un mínimo.
La mejor caja abierta tiene la mitad de altura que de anchura.
Respuesta: p = 31 €
Optimización: escribe la magnitud que quieres optimizar como función de una sola variable, usando la restricción para eliminar la otra. Iguala la derivada a cero y resuelve. Comprueba que el punto crítico es un máximo o un mínimo (segunda derivada o cambio de signo de la primera) y que está dentro del intervalo permitido; un extremo como una longitud de lado nula no es la respuesta.
R″(p) = −100 < 0, así que es un máximo.
Respuesta: I = 4,828
Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.
Respuesta: A = 36
Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.
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