Cálculo I: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Límites

Sustitución directa: prueba primero x = a; 0/0 significa que hay que simplificar
Factorizar y simplificar: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Límites en el infinito: divide entre la mayor potencia de x; con grados iguales se obtiene el cociente de los coeficientes principales
Límite notable: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regla de L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Derivadas

Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′
Regla del cociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regla de la cadena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas habituales: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifica la estructura: suma, producto, cociente o composición.
Aplica la regla de la potencia a cada potencia de x.
Usa la regla del producto, del cociente o de la cadena donde haga falta.
Simplifica y, si se pide, evalúa en el punto.

Optimización

Método: escribe Q(x) con una sola variable, resuelve Q′(x) = 0 y comprueba Q″ o los extremos del intervalo
Máximo: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro cerrado: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Beneficio: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

2Problemas de práctica

1.LímitesMedia

Halla el límite L = lim_x→∞ (−x² + x − 2)/(5x² + x + 6).

f(x) = (−x² + x − 2)/(5x² + x + 6)x → ∞

L =

2.LímitesDifícil

Halla el límite L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(2x), con x en radianes.

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(2x)x → 0

L =

3.DerivadasMedia

Sea f(x) = ln(2x² + 2). Calcula f′(3).

f(x) = ln(2x² + 2)x = 3

f′(3) =

4.DerivadasDifícil

Sea f(x) = x³ + 3x² − 9x − 2. Calcula la coordenada x x del máximo local.

f(x) = x³ + 3x² − 9x − 2

x =

5.OptimizaciónMedia

Una parcela rectangular de 400 m² se valla por los cuatro lados. El lado de la calle, de longitud x, cuesta 40 € por metro; los otros tres lados cuestan 8 € por metro. Halla el coste total mínimo C.

A = 400 m²€40/m€8/m

C = €

6.OptimizaciónDifícil

Una empresa vende q unidades por semana. El precio al que puede venderlas es p = 100 − 0,25q euros por unidad, y el coste es C(q) = 2500 + 30q euros. Halla el precio p que maximiza el beneficio.

p = 100 − 0,25qC = 2500 + 30q

p = €

7.IntegralesMedia

Calcula I = ∫₀² x·sin x dx (x en radianes).

∫₀² x·sin x dx

I =

8.IntegralesDifícil

La región entre la recta y = 3x y la parábola y = 3x² gira alrededor del eje x. Halla el volumen V del sólido.

y = 3xy = 3x²

V =

3Disoluciones

1.Límites

Respuesta: L = −0,2

Límites: prueba primero la sustitución directa. Si da 0/0, simplifica antes: factoriza y cancela el factor común, o multiplica por el conjugado. Cuando x → ∞, divide numerador y denominador entre la mayor potencia de x. Regla de L'Hôpital: si f/g da 0/0 o ∞/∞, entonces lim f/g = lim f′/g′, derivando el numerador y el denominador por separado (no con la regla del cociente).

Divide entre la mayor potencia

(−1 + 1/x + (−2)/x²)/(5 + 1/x + 6/x²)

Haz x → ∞

L = −1/5 = −0,2

Respuesta

L = −0,2

Con grados iguales el límite es el cociente de los coeficientes principales.

2.Límites

Respuesta: L = 2

Regla de L'Hôpital

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[2·cos 2x]

Sustituye x = 0

L = 4/2 = 2

Respuesta

L = 2

3.Derivadas

Respuesta: f′(3) = 0,6

Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.

Regla de la cadena para el logaritmo

f′(x) = 4x/(2x² + 2)

Sustituir

f′(3) = 12/20 = 0,6

Respuesta

f′(3) = 0,6

4.Derivadas

Respuesta: x = −3

Derivada

f′(x) = 3x² + 6x − 9 = 3·(x² + 2x − 3)

Resolver f′(x) = 0

x = −3 o x = 1

Cuál es cuál

f″(x) = 6x + 6: negativa en un máximo, positiva en un mínimo.

f″(−3) = −12, f″(1) = 12

x = −3

Respuesta

x = −3

5.Optimización

Respuesta: C = 1109 €

Optimización: escribe la magnitud que quieres optimizar como función de una sola variable, usando la restricción para eliminar la otra. Iguala la derivada a cero y resuelve. Comprueba que el punto crítico es un máximo o un mínimo (segunda derivada o cambio de signo de la primera) y que está dentro del intervalo permitido; un extremo como una longitud de lado nula no es la respuesta.

Coste en función de x

C(x) = 48x + 6400/x

Igualar la derivada a cero

C″(x) = 12800/x³ > 0, así que es un mínimo.

x = √(6400/48) = 11,55 m

y = 400/11,55 = 34,64 m

Coste mínimo

C = 48·11,55 + 6400/11,55 = €1109

Respuesta

C = €1109

6.Optimización

Respuesta: p = 65 €

Función de beneficio

P(q) = (100 − 0,25q)·q − (2500 + 30q) = −0,25q² + 70q − 2500

Igualar la derivada a cero

P″(q) = −0,5 < 0, así que es un máximo.

q = 70/0,5 = 140

Precio y beneficio

p = 100 − 0,25·140 = €65

P = 70·140 − 0,25·140² − 2500 = €2400

Respuesta

p = €65

7.Integrales

Respuesta: I = 1,742

Integración por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir de la regla del producto. Elige como u el factor que se simplifica al derivarlo (una potencia de x, o ln x), y como dv el factor que sabes integrar (eˣ, sin x, cos x, o x cuando u = ln x). En una integral definida, evalúa u·v en ambos límites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un factor x² necesita dos vueltas.

Elige u y dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Primitiva

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Límites

(−2·cos 2 + sin 2) − (0 + 0) = 1,742

Respuesta

I = 1,742

8.Integrales

Respuesta: V = 3,77

Volúmenes de revolución: al girar alrededor del eje x la región bajo y = f(x) desde x = a hasta x = b se obtiene un sólido cuya sección transversal en x es un disco de radio f(x). Sumando los discos se obtiene V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Cuando la región está entre una curva exterior R(x) y una curva interior r(x), cada rebanada es una arandela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleva los radios al cuadrado antes de restarlos.

Puntos de corte

3x = 3x² → x = 0, x = 1

Método de las arandelas

V = π∫₀¹ ((3x)² − (3x²)²) dx

Integrar

V = π(9·1³/3 − 9·1⁵/5) = π·1,2 = 3,77

Respuesta

V = 3,77

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