Cálculo I: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Límites

Sustitución directa: prueba primero x = a; 0/0 significa que hay que simplificar
Factorizar y simplificar: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Conjugado: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Límites en el infinito: divide entre la mayor potencia de x; con grados iguales se obtiene el cociente de los coeficientes principales
Límite notable: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regla de L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Derivadas

Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′
Regla del cociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regla de la cadena: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas habituales: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifica la estructura: suma, producto, cociente o composición.
Aplica la regla de la potencia a cada potencia de x.
Usa la regla del producto, del cociente o de la cadena donde haga falta.
Simplifica y, si se pide, evalúa en el punto.

Optimización

Método: escribe Q(x) con una sola variable, resuelve Q′(x) = 0 y comprueba Q″ o los extremos del intervalo
Máximo: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Mínimo: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Cilindro cerrado: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Beneficio: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

2Problemas de práctica

1.LímitesMedia

Halla el límite L = lim_x→∞ (4x³ − 2x + 2)/(3x³ + 4x + 4).

f(x) = (4x³ − 2x + 2)/(3x³ + 4x + 4)x → ∞

L =

2.LímitesDifícil

Halla el límite L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(4x²), con x en radianes.

f(x) = (1 − cos 2x)/(4x²)x → 0

L =

3.DerivadasMedia

Sea f(x) = x·sin(3x), con x en radianes. Calcula f′(2).

f(x) = x·sin(3x)x = 2 rad

f′(2) =

4.DerivadasDifícil

Sea f(x) = x³ − 3x² − 9x + 6. Calcula la coordenada x x del máximo local.

f(x) = x³ − 3x² − 9x + 6

x =

5.OptimizaciónMedia

Una parcela rectangular de 450 m² se valla por los cuatro lados. El lado de la calle, de longitud x, cuesta 15 € por metro; los otros tres lados cuestan 12 € por metro. Halla la longitud x del lado de la calle que minimiza el coste.

A = 450 m²€15/m€12/m

x = m

6.OptimizaciónDifícil

Una empresa vende q unidades por semana. El precio al que puede venderlas es p = 120 − 0,1q euros por unidad, y el coste es C(q) = 9000 + 25q euros. Halla la producción semanal q que maximiza el beneficio.

p = 120 − 0,1qC = 9000 + 25q

q = unidades

7.IntegralesMedia

Calcula I = ∫₀¹ x·cos x dx (x en radianes).

∫₀¹ x·cos x dx

I =

8.IntegralesDifícil

La región entre la recta y = 6x y la parábola y = 2x² gira alrededor del eje x. Halla el volumen V del sólido.

y = 6xy = 2x²

V =

3Disoluciones

1.Límites

Respuesta: L = 1,333

Límites: prueba primero la sustitución directa. Si da 0/0, simplifica antes: factoriza y cancela el factor común, o multiplica por el conjugado. Cuando x → ∞, divide numerador y denominador entre la mayor potencia de x. Regla de L'Hôpital: si f/g da 0/0 o ∞/∞, entonces lim f/g = lim f′/g′, derivando el numerador y el denominador por separado (no con la regla del cociente).

Divide entre la mayor potencia

(4 + (−2)/x² + 2/x³)/(3 + 4/x² + 4/x³)

Haz x → ∞

L = 4/3 = 1,333

Respuesta

L = 1,333

Con grados iguales el límite es el cociente de los coeficientes principales.

2.Límites

Respuesta: L = 0,5

Primera aplicación

2·sin 2x/(8x) → 0/0

Segunda aplicación

4·cos 2x/8

Sustituye x = 0

L = 4/8 = 0,5

Respuesta

L = 0,5

3.Derivadas

Respuesta: f′(2) = 5,482

Derivación: la derivada f′(x) es la pendiente de la gráfica en x. Regla de la potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′. Regla de la cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Donde f′(x) = 0 la gráfica tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de silla.

Regla del producto y de la cadena

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Sustituir

f′(2) = −0,2794 + 6·0,9602 = 5,482

Respuesta

f′(2) = 5,482

4.Derivadas

Respuesta: x = −1

Derivada

f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3·(x² − 2x − 3)

Resolver f′(x) = 0

x = −1 o x = 3

Cuál es cuál

f″(x) = 6x − 6: negativa en un máximo, positiva en un mínimo.

f″(−1) = −12, f″(3) = 12

x = −1

Respuesta

x = −1

5.Optimización

Respuesta: x = 20 m

Optimización: escribe la magnitud que quieres optimizar como función de una sola variable, usando la restricción para eliminar la otra. Iguala la derivada a cero y resuelve. Comprueba que el punto crítico es un máximo o un mínimo (segunda derivada o cambio de signo de la primera) y que está dentro del intervalo permitido; un extremo como una longitud de lado nula no es la respuesta.

Coste en función de x

C(x) = 27x + 10800/x

Igualar la derivada a cero

C″(x) = 21600/x³ > 0, así que es un mínimo.

x = √(10800/27) = 20 m

y = 450/20 = 22,5 m

Coste mínimo

C = 27·20 + 10800/20 = €1080

Respuesta

x = 20 m

6.Optimización

Respuesta: q = 475 unidades

Función de beneficio

P(q) = (120 − 0,1q)·q − (9000 + 25q) = −0,1q² + 95q − 9000

Igualar la derivada a cero

P″(q) = −0,2 < 0, así que es un máximo.

q = 95/0,2 = 475

Precio y beneficio

p = 120 − 0,1·475 = €72,5

P = 95·475 − 0,1·475² − 9000 = €13563

Respuesta

q = 475

7.Integrales

Respuesta: I = 0,3818

Integración por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir de la regla del producto. Elige como u el factor que se simplifica al derivarlo (una potencia de x, o ln x), y como dv el factor que sabes integrar (eˣ, sin x, cos x, o x cuando u = ln x). En una integral definida, evalúa u·v en ambos límites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un factor x² necesita dos vueltas.

Elige u y dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Primitiva

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Límites

(1·sin 1 + cos 1) − (0 + 1) = 0,3818

Respuesta

I = 0,3818

8.Integrales

Respuesta: V = 407,2

Volúmenes de revolución: al girar alrededor del eje x la región bajo y = f(x) desde x = a hasta x = b se obtiene un sólido cuya sección transversal en x es un disco de radio f(x). Sumando los discos se obtiene V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Cuando la región está entre una curva exterior R(x) y una curva interior r(x), cada rebanada es una arandela: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Eleva los radios al cuadrado antes de restarlos.

Puntos de corte

6x = 2x² → x = 0, x = 3

Método de las arandelas

V = π∫₀³ ((6x)² − (2x²)²) dx

Integrar

V = π(36·3³/3 − 4·3⁵/5) = π·129,6 = 407,2

Respuesta

V = 407,2

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