Ingeniería de control 2: diseño de control realimentado: pack de repaso

Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jω_d con ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, tiempo de pico t_p = π/ω_d y tiempo de establecimiento al 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).

Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jω_d con ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, tiempo de pico t_p = π/ω_d y tiempo de establecimiento al 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).

Respuesta en frecuencia: sustituye s = jω en la función de transferencia. El módulo en decibelios es 20·log₁₀|H(jω)| y la fase es la suma de los ángulos de los factores del numerador menos los del denominador. Un filtro RC o RL de primer orden tiene su frecuencia de corte (−3 dB) en ω_c = 1/(RC) o R/L, y f_c = ω_c/(2π); un filtro paso bajo da |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) y φ = −atan(ω/ω_c). En el diagrama de Bode asintótico (de rectas) cada polo hace bajar el módulo 20 dB/década en su frecuencia de esquina, cada cero lo hace subir 20 dB/década, y un integrador 1/s da −20 dB/década en todas las frecuencias. Cruce de ganancia ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); margen de fase MF = 180° + ∠L(jω_c). Cruce de fase ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; margen de ganancia MG = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. El lazo cerrado es estable cuando ambos márgenes son positivos.

Respuesta en frecuencia: sustituye s = jω en la función de transferencia. El módulo en decibelios es 20·log₁₀|H(jω)| y la fase es la suma de los ángulos de los factores del numerador menos los del denominador. Un filtro RC o RL de primer orden tiene su frecuencia de corte (−3 dB) en ω_c = 1/(RC) o R/L, y f_c = ω_c/(2π); un filtro paso bajo da |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) y φ = −atan(ω/ω_c). En el diagrama de Bode asintótico (de rectas) cada polo hace bajar el módulo 20 dB/década en su frecuencia de esquina, cada cero lo hace subir 20 dB/década, y un integrador 1/s da −20 dB/década en todas las frecuencias. Cruce de ganancia ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); margen de fase MF = 180° + ∠L(jω_c). Cruce de fase ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; margen de ganancia MG = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. El lazo cerrado es estable cuando ambos márgenes son positivos.

Criterio de Routh–Hurwitz: un sistema lineal es estable cuando todas las raíces de su polinomio característico están en el semiplano izquierdo del plano s. Escribe los coeficientes alternadamente en las dos primeras filas de la tabla de Routh. Cada elemento de una fila nueva sale de las dos filas de encima; para un polinomio cúbico a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ el elemento de s¹ es b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. El número de cambios de signo en la primera columna es igual al número de raíces en el semiplano derecho. Con una ganancia K en los coeficientes, todos los elementos de la primera columna deben seguir siendo positivos: la ganancia que anula el elemento de s¹ es el límite de estabilidad, y la fila de s² da entonces la frecuencia de la oscilación sostenida.

Lugar de las raíces: cuando la ganancia K va de 0 a ∞, los polos de lazo cerrado, las raíces de 1 + K·G(s) = 0, se desplazan desde los polos de lazo abierto hasta los ceros de lazo abierto o hasta el infinito. Un punto del eje real pertenece al lugar cuando el número de polos y ceros reales situados a su derecha es impar. Las n − m ramas que van al infinito siguen asíntotas con los ángulos (2q + 1)·180°/(n − m), que parten del centroide σₐ = (Σ polos − Σ ceros)/(n − m). Las ramas salen del eje real o se unen a él donde dK/ds = 0. La condición de ángulo ∠G(s) = 180° fija la forma, y la condición de módulo K = 1/|G(s)| da la ganancia en cualquier punto del lugar.

Error en régimen permanente: en un lazo con realimentación unitaria y función de transferencia de lazo abierto G(s) el error es E(s) = R(s)/(1 + G(s)), y por el teorema del valor final e_ss = lim_s→0 s·E(s). El tipo del sistema es el número de polos de G(s) en s = 0. Las constantes de error son K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) y K_a = lim s²·G(s), todas para s → 0. Un escalón de tamaño A da e_ss = A/(1 + K_p), una rampa A·t da A/K_v y una parábola A·t²/2 da A/K_a. Un lazo de tipo 0 sigue un escalón con un error finito, un lazo de tipo 1 lo sigue exactamente y sigue una rampa con un error finito.

Control P, PI y PID: el controlador C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s actúa sobre el error. Una ganancia proporcional hace el lazo más rápido y reduce el error de una planta de tipo 0, pero nunca lo elimina. El término integral añade un polo en s = 0: el tipo del sistema sube una unidad y un escalón se sigue sin error. El término derivativo añade amortiguamiento. Para elegir las ganancias, escribe el polinomio característico de lazo cerrado y compáralo con s² + 2ζω_ns + ω_n². Entonces %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d con ω_d = ω_n√(1 − ζ²), y t_s ≈ 4/(ζω_n).

Álgebra de diagramas de bloques: los bloques en serie se multiplican (G₁·G₂), los bloques en paralelo se suman (G₁ + G₂), y un lazo con camino directo G y camino de realimentación H se reduce a T = G/(1 + G·H) para realimentación negativa y G/(1 − G·H) para realimentación positiva. Reduce primero los lazos internos y avanza hacia fuera. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para un lazo estable, una entrada escalón de tamaño A da la salida en régimen estacionario A·T(0); con realimentación unitaria el error en régimen estacionario ante un escalón es A/(1 + K_p) con K_p = G(0).

Álgebra de diagramas de bloques: los bloques en serie se multiplican (G₁·G₂), los bloques en paralelo se suman (G₁ + G₂), y un lazo con camino directo G y camino de realimentación H se reduce a T = G/(1 + G·H) para realimentación negativa y G/(1 − G·H) para realimentación positiva. Reduce primero los lazos internos y avanza hacia fuera. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para un lazo estable, una entrada escalón de tamaño A da la salida en régimen estacionario A·T(0); con realimentación unitaria el error en régimen estacionario ante un escalón es A/(1 + K_p) con K_p = G(0).