Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué afirmación sobre una función recursiva sin un caso base alcanzable es correcta?

  1. AEl compilador siempre la convierte en un bucle que termina sin problemas
  2. BDevuelve 0 automáticamente
  3. CSigue llamándose a sí misma hasta que se desborda la pila de llamadas
  4. DSe ejecuta en tiempo O(1)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Por qué cualquier búsqueda basada en comparaciones en un array ordenado necesita Ω(log n) comparaciones en el peor caso?

  1. ACada elemento debe compararse al menos una vez
  2. BLa búsqueda binaria es el único algoritmo posible, y necesita log₂ n comparaciones
  3. CUn árbol de decisión con n resultados posibles debe tener una profundidad de al menos log₂ n
  4. DCada comparación tarda un tiempo logarítmico
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es el coste de insertar un elemento en medio de un arreglo de n elementos?

  1. AO(n²), porque cada elemento se mueve n veces
  2. BO(1), porque se conoce el índice
  3. CO(log n), por la búsqueda binaria
  4. DO(n), porque los elementos posteriores deben desplazarse
4.Estructuras de datosDifícil

Eliminar un nodo con dos hijos de un árbol binario de búsqueda se hace normalmente:

  1. AReemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo
  2. BIntercambiándolo con la raíz
  3. CEliminando todo el subárbol
  4. DReconstruyendo desde cero el subárbol que hay debajo y reinsertando todas las claves que contenía
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K7? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K7
H =
6.Teoría de grafosDifícil
141712106425ABCDEF

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Sigue llamándose a sí misma hasta que se desborda la pila de llamadas

Por qué esta es la respuesta

Sin caso base, la recursión nunca termina; en la práctica se agota la memoria para los marcos de pila y el programa falla.

Respuesta

C · Sigue llamándose a sí misma hasta que se desborda la pila de llamadas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Un árbol de decisión con n resultados posibles debe tener una profundidad de al menos log₂ n

Por qué esta es la respuesta

Cada comparación reduce como mucho a la mitad el conjunto de posibilidades restantes, así que distinguir n posiciones necesita al menos log₂ n comparaciones.

Respuesta

C · Un árbol de decisión con n resultados posibles debe tener una profundidad de al menos log₂ n
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · O(n), porque los elementos posteriores deben desplazarse

Por qué esta es la respuesta

Todos los elementos situados después del punto de inserción se mueven una posición a la derecha, lo que lleva un tiempo proporcional a n.

Respuesta

D · O(n), porque los elementos posteriores deben desplazarse
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Reemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo

Por qué esta es la respuesta

El sucesor en orden tiene como máximo un hijo, por lo que puede eliminarse fácilmente después de copiar su clave en el nodo que se va a eliminar.

Respuesta

A · Reemplazándolo por su sucesor en orden (o predecesor) y eliminando ese nodo
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 360

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Respuesta

H = 360
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 31

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

EF (2): tomar
DE (4): tomar
BE (5): tomar
CE (6): tomar
BD (10): descartar, cierra un ciclo
BC (12): descartar, cierra un ciclo
AB (14): tomar

Peso total

W = 2 + 4 + 5 + 6 + 14 = 31

Respuesta

W = 31

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