Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué algoritmo encuentra los caminos más cortos desde un origen en un grafo con pesos de aristas no negativos?

  1. AAlgoritmo de Kruskal
  2. BBúsqueda en profundidad (DFS)
  3. CBellman-Ford es necesario en todos los casos
  4. DAlgoritmo de Dijkstra
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cómo se clasifica el problema del viajante?

  1. AEs indecidible
  2. BLa versión de decisión es NP-completa y la de optimización es NP-difícil
  3. CLa versión de decisión está en P, pero la de optimización es NP-completa
  4. DEstá en P porque el algoritmo de Dijkstra lo resuelve visitando cada ciudad una vez
3.Estructuras de datosMedia

Una aplicación necesita búsquedas rápidas y además listar las claves en orden y responder consultas por rangos. ¿Qué estructura encaja mejor?

  1. AUna lista enlazada sin ordenar
  2. BUna pila
  3. CUn árbol binario de búsqueda balanceado
  4. DUna tabla hash
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué estructura permite calcular el máximo de cada ventana de tamaño k de un arreglo en un tiempo total O(n)?

  1. AUn min-heap reconstruido para cada ventana
  2. BUna deque que guarda índices en orden decreciente de valor
  3. CUn arreglo ordenado actualizado mediante desplazamientos
  4. DUna lista simplemente enlazada con los elementos de la ventana
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDE

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 3 empiezan y terminan en E? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 3
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Algoritmo de Dijkstra

Por qué esta es la respuesta

El algoritmo de Dijkstra funciona con pesos no negativos; Bellman-Ford admite pesos negativos; Kruskal construye árboles de expansión mínima.

Respuesta

D · Algoritmo de Dijkstra
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · La versión de decisión es NP-completa y la de optimización es NP-difícil

Por qué esta es la respuesta

«¿Hay un recorrido de longitud como mucho k?» es NP-completo; hallar el recorrido más corto es NP-difícil, porque es al menos igual de difícil.

Respuesta

B · La versión de decisión es NP-completa y la de optimización es NP-difícil
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Un árbol binario de búsqueda balanceado

Por qué esta es la respuesta

Un BST balanceado ofrece búsquedas en O(log n) y mantiene las claves ordenadas, así que el recorrido en orden y las consultas por rangos son sencillos; una tabla hash dispersa las claves.

Respuesta

C · Un árbol binario de búsqueda balanceado
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Una deque que guarda índices en orden decreciente de valor

Por qué esta es la respuesta

El frente de la deque es siempre el máximo de la ventana; cada índice entra en la deque y sale de ella una vez, así que el trabajo es lineal.

Respuesta

B · Una deque que guarda índices en orden decreciente de valor
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 2

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Un paso más

(M³)EE = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 1·0 + 2·0 = 2

Respuesta

N = 2

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