Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Por qué suele omitirse la base del logaritmo en la notación O grande, como en O(log n)?

  1. ALa base solo importa para n pequeño
  2. BLos logaritmos siempre se redondean a enteros
  3. CTodos los logaritmos en informática tienen base 10, así que va implícita
  4. DLos logaritmos en distintas bases solo difieren en un factor constante
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El ordenamiento por inserción se ejecuta en O(n) con una entrada ordenada. ¿Contradice esto la cota inferior Ω(n log n) de la ordenación por comparaciones?

  1. ANo, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada
  2. BNo, porque el ordenamiento por inserción no es una ordenación por comparaciones
  3. CSí, así que la cota inferior es errónea
  4. DSí, pero solo para arrays de menos de 100 elementos
3.Estructuras de datosMedia

Un búfer circular (ring buffer) se usa habitualmente para implementar:

  1. AUn árbol binario de búsqueda
  2. BUna función hash
  3. CUn recorrido de grafo
  4. DUna cola de tamaño fijo
4.Estructuras de datosDifícil

Un nodo AVL está desequilibrado porque el subárbol derecho de su hijo izquierdo ha quedado demasiado alto (caso izquierda-derecha). ¿Qué corrección se aplica?

  1. AUna rotación simple a la derecha en el nodo
  2. BUna rotación a la derecha en el hijo izquierdo y luego una rotación a la izquierda en el nodo
  3. CUna rotación simple a la izquierda en el nodo
  4. DUna rotación a la izquierda en el hijo izquierdo y luego una rotación a la derecha en el nodo
5.Teoría de grafosMedia
ABCDECircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDEF

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 2 empiezan y terminan en E? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Los logaritmos en distintas bases solo difieren en un factor constante

Por qué esta es la respuesta

Cambiar la base multiplica el logaritmo por una constante, y la notación O grande ignora los factores constantes.

Respuesta

D · Los logaritmos en distintas bases solo difieren en un factor constante
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · No, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada

Por qué esta es la respuesta

La cota dice que toda ordenación por comparaciones necesita unas n log n comparaciones con alguna entrada de tamaño n; entradas especiales pueden ser mucho más rápidas.

Respuesta

A · No, la cota inferior se aplica al peor caso entre todas las entradas, no a cada entrada
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Una cola de tamaño fijo

Por qué esta es la respuesta

Un búfer circular usa índices de cabeza y cola que dan la vuelta, lo que permite enqueue y dequeue en O(1) con memoria fija.

Respuesta

D · Una cola de tamaño fijo
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Una rotación a la izquierda en el hijo izquierdo y luego una rotación a la derecha en el nodo

Por qué esta es la respuesta

La primera rotación convierte el caso izquierda-derecha en un caso izquierda-izquierda, que luego corrige una rotación a la derecha en el nodo desequilibrado.

Respuesta

D · Una rotación a la izquierda en el hijo izquierdo y luego una rotación a la derecha en el nodo
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 4

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vecinos comunes

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 1·1 = 4

Respuesta

N = 4

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