Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué afirmación sobre la notación o pequeña es correcta?

  1. An = o(n), porque toda función es o pequeña de sí misma
  2. B2n = o(n), porque 2n crece despacio
  3. Cn = o(n²), pero n no es o(n)
  4. Dn² = o(n)
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué estructura de datos utiliza la búsqueda en profundidad (DFS) en su versión iterativa?

  1. AUna cola
  2. BUn montículo
  3. CUna pila
  4. DSolo una tabla hash
4.Estructuras de datosDifícil

Un árbol de Fenwick (binary indexed tree) sobre un arreglo de n números permite, ¿qué operaciones en O(log n)?

  1. AConsultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento
  2. BInsertar elementos en cualquier posición
  3. CEncontrar la mediana en O(1)
  4. DOrdenar el arreglo y la búsqueda binaria
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 4 vértices de grado 3, 2 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

4 × deg 32 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
1520172712106ABCDEF

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Hay n niveles con trabajo constante cada uno, como en la suma recursiva de un array.

Respuesta

B · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · n = o(n²), pero n no es o(n)

Por qué esta es la respuesta

f = o(g) significa que f(n) / g(n) tiende a 0; n / n² tiende a 0, pero n / n = 1 no.

Respuesta

C · n = o(n²), pero n no es o(n)
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Una pila

Por qué esta es la respuesta

DFS explora lo más profundo posible y usa de forma natural una pila (o la pila de llamadas de la recursión); BFS usa una cola.

Respuesta

C · Una pila
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Consultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento

Por qué esta es la respuesta

Un árbol de Fenwick almacena sumas parciales sobre rangos determinados por los bits bajos de cada índice, así que tanto las sumas de prefijos como las actualizaciones puntuales cuestan O(log n).

Respuesta

A · Consultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 6

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 16 = 2(L + 6) − 2
L = 6

Respuesta

L = 6

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 40

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

CE (2): tomar
BE (6): tomar
DE (7): tomar
EF (10): tomar
DF (12): descartar, cierra un ciclo
AC (15): tomar

Peso total

W = 2 + 6 + 7 + 10 + 15 = 40

Respuesta

W = 40

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