Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuáles son los costes de tiempo y espacio de calcular el n-ésimo número de Fibonacci con un bucle que guarda solo los dos últimos valores?

  1. ATiempo O(n) y espacio O(1)
  2. BTiempo O(n) y espacio O(n)
  3. CTiempo O(log n) y espacio O(n)
  4. DTiempo O(2ⁿ) y espacio O(1)
3.Estructuras de datosMedia

En una tabla hash con direccionamiento abierto, ¿cuál es el factor de carga máximo posible?

  1. A1
  2. B0,5
  3. CNo hay máximo
  4. D2
4.Estructuras de datosDifícil

Las claves 5, 3, 8, 1 se insertan en este orden en un min-heap binario vacío basado en un arreglo. ¿Cuál es el arreglo final?

  1. A[1, 3, 5, 8]
  2. B[1, 5, 8, 3]
  3. C[3, 1, 8, 5]
  4. D[1, 3, 8, 5]
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 2 vértices de grado 4, 4 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

2 × deg 44 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
411961065912ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(G) del camino más corto de A a G en el grafo ponderado.

inicio: Afin: G
d(G) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Por el teorema maestro, nlog₂ 2 = n domina al trabajo constante, así que T(n) = Θ(n), como al hallar un máximo dividiendo en mitades.

Respuesta

D · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Tiempo O(n) y espacio O(1)

Por qué esta es la respuesta

Cada paso necesita solo los dos valores anteriores, así que la tabla del método ascendente puede sustituirse por dos variables.

Respuesta

A · Tiempo O(n) y espacio O(1)
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · 1

Por qué esta es la respuesta

Con direccionamiento abierto todas las claves se almacenan en la propia tabla, así que n no puede superar m; con encadenamiento separado el factor de carga puede ser mayor que 1.

Respuesta

A · 1
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · [1, 3, 8, 5]

Por qué esta es la respuesta

Tras 5, 3, 8 el arreglo es [3, 5, 8]; 1 va al índice 3, se intercambia con su padre 5 y luego con 3, lo que da [1, 3, 8, 5].

Respuesta

D · [1, 3, 8, 5]
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 6

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 16 = 2(L + 6) − 2
L = 6

Respuesta

L = 6

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(G) = 16

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 4, C: 11
B (4): D: 13
C (11): G: 16
D (13): E: 19, F: 23
G (16)
E (19)
F (23)

Camino más corto

A → C → G
d(G) = 16

Respuesta

d(G) = 16

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