Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cómo construye el algoritmo de Prim un árbol de expansión mínima?

  1. AOrdena todas las aristas por peso y añade cada una salvo que forme un ciclo en el bosque
  2. BHace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol
  3. CEjecuta una búsqueda en anchura y se queda con el árbol BFS
  4. DElimina la arista más cara hasta que no quedan ciclos
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es la complejidad temporal de construir un montículo binario a partir de n elementos sin ordenar con el método ascendente (bottom-up)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
3.Estructuras de datosMedia

¿Para qué sirve un nodo centinela (ficticio) en una lista enlazada?

  1. APara simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola
  2. BPara impedir que la lista crezca más allá de un número máximo fijo de nodos
  3. CPara almacenar el número de elementos
  4. DPara mantener la lista ordenada
4.Estructuras de datosDifícil

La complejidad temporal de decrease-key en un montículo binario (conociendo la posición del elemento) es:

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n log n)
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 2 vértices de grado 5, 4 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

2 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
14811276101310ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Hace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol

Por qué esta es la respuesta

El algoritmo de Prim, con una cola de prioridad de las aristas que cruzan el corte, se ejecuta en O(E log V) con un montículo binario.

Respuesta

B · Hace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Sumar los costes de hundimiento (sift-down) en todos los niveles da una serie convergente, así que heapify se ejecuta en tiempo lineal.

Respuesta

C · O(n)
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Para simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola

Por qué esta es la respuesta

Con un centinela, todo nodo real tiene un predecesor, así que insertar o eliminar en la cabeza no requiere ningún tratamiento especial.

Respuesta

A · Para simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · O(log n)

Por qué esta es la respuesta

Tras disminuir la clave, el elemento sube (sift-up) como máximo la altura del montículo. Los montículos de Fibonacci logran decrease-key en O(1) amortizado.

Respuesta

B · O(log n)
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 8

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 18 = 2(L + 6) − 2
L = 8

Respuesta

L = 8

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 27

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 14, C: 8
C (8): B: 9, E: 15, G: 21
B (9): D: 21, G: 19
E (15)
G (19)
D (21): F: 27
F (27)

Camino más corto

A → C → B → D → F
d(F) = 27

Respuesta

d(F) = 27

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