Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de multiplicar dos matrices n × n con el triple bucle estándar?

  1. AO(n³)
  2. BO(n²)
  3. CO(n² log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es la complejidad temporal de: para i = 1 hasta n: para (j = i; j ≤ n; j = j + i) hacer trabajo O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n √n)
  4. DO(n log n)
3.Estructuras de datosMedia

Las claves 50, 30, 70, 20, 40 se insertan en este orden en un árbol binario de búsqueda vacío. ¿Cuál es el hijo izquierdo de 30?

  1. A70
  2. B20
  3. C50
  4. D40
4.Estructuras de datosDifícil

Un filtro de Bloom puede responder a «¿está este elemento en el conjunto?» con:

  1. ARespuestas solo para números
  2. BPosibles falsos positivos, pero sin falsos negativos
  3. CPosibles falsos negativos, pero sin falsos positivos
  4. DRespuestas siempre exactas
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 2 vértices de grado 5, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

2 × deg 5
L =
6.Teoría de grafosDifícil
1310119491442ABCDEFG

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 3; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O(n³)

Por qué esta es la respuesta

Hay n² entradas y cada una necesita n multiplicaciones, lo que da n³ operaciones.

Respuesta

A · O(n³)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O(n log n)

Por qué esta es la respuesta

El total es n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, y el número armónico Hn es Θ(log n).

Respuesta

D · O(n log n)
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · 20

Por qué esta es la respuesta

20 es menor que 50 y menor que 30, así que pasa a ser el hijo izquierdo de 30; 40 pasa a ser su hijo derecho.

Respuesta

B · 20
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Posibles falsos positivos, pero sin falsos negativos

Por qué esta es la respuesta

Si algún bit de un elemento es 0, seguro que no está; si todos son 1, probablemente está. Los filtros de Bloom sacrifican precisión a cambio de usar muy poca memoria.

Respuesta

B · Posibles falsos positivos, pero sin falsos negativos
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 8

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 10 = 2(L + 2) − 2
L = 8

Respuesta

L = 8

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: B

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): C: 13
2. C (13): B: 23, G: 27
3. B (23): D: 34
4. G (27): D: 31, E: 29
5. E (29): F: 38
6. D (31): F: 35
7. F (35)

ronda 3

B

Respuesta

B

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