Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué afirmación sobre P y NP es correcta?

  1. ATodo problema de P también está en NP
  2. BSe ha demostrado que P ≠ NP
  3. CLas soluciones de los problemas NP no se pueden verificar rápidamente
  4. DNP significa «no polinómico»
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué estructura de datos usa un programa en ejecución para llevar el control de las llamadas a funciones activas y sus variables locales?

  1. AUna tabla hash de funciones
  2. BLa cola de memoria del heap
  3. CLa pila de llamadas
  4. DUn árbol binario de búsqueda de marcos
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué hace un splay tree después de cada acceso?

  1. AReconstruye todo el árbol en forma balanceada
  2. BSube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz
  3. CMueve el nodo accedido a una hoja
  4. DRecolorea los nodos del camino de búsqueda
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
91281439311ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O(2ⁿ)

Por qué esta es la respuesta

El número de llamadas se duplica en cada nivel y hay n niveles, así que el total es de unos 2ⁿ, como en las torres de Hanói.

Respuesta

D · O(2ⁿ)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Todo problema de P también está en NP

Por qué esta es la respuesta

P ⊆ NP: si puedes resolver un problema rápidamente, puedes verificar una solución rápidamente. Si P = NP sigue siendo una cuestión abierta.

Respuesta

A · Todo problema de P también está en NP
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · La pila de llamadas

Por qué esta es la respuesta

Cada llamada apila un marco de pila y cada retorno lo desapila; por eso la llamada más reciente termina primero.

Respuesta

C · La pila de llamadas
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Sube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz

Por qué esta es la respuesta

El splaying lleva el nodo accedido a la raíz mediante rotaciones; una sola operación puede costar O(n), pero el coste amortizado es O(log n).

Respuesta

B · Sube mediante rotaciones el nodo accedido hasta la raíz
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 4

Vértices impares

B, D, E, F → 4
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 23

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 9, C: 12
B (9): E: 20
C (12)
E (20): D: 23, F: 23
D (23)
F (23)

Camino más corto

A → B → E → F
d(F) = 23

Respuesta

d(F) = 23

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